Sobre a equação diferencial y^prime prime-4 y^prime+3 y=0; podemos afirmar que a solução geral é dada por:

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 3y = 0
Para resolver, usamos o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^r x. Substitindo na equação dá
r^2 e^r x - 4r e^r x + 3 e^r x = 0
Dividindo por e^r xneq0 obtemos a equação característica
r^2 - 4r + 3 = 0
Resolvendo em r temos
r = 4 pm raiz(-4)^2 - 4cdot1cdot32 = 4 pm raiz16 - 122 = 4 pm 22,
logo as raízes são r1 = 3 e r2 = 1.

Passo 3

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x
Substituindo r1 = 3 e r2 = 1, concluímos
y(x) = C1 e^3x + C2 e^x

Resposta

y(x) = C1 e^3x + C2 e^x

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