Dado o subespaço V=(x, y, z): x-y=0 de R^3, determine um subespaço W subseteq R^3, tal que V oplus W=R^3.

Passo 1

O enunciado pede um complemento direto de VsubseteqR^3 definido por
V = (x,y,z)inR^3 mid x - y = 0
Como x-y=0 é uma única equação linear, dim V = 2. Para ter V oplus W = R^3 precisamos de um subespaço W com dim W = 1, tal que
  1. Vcap W = 0,
  2. V + W = R^3.

Passo 2

Vamos escrever V em forma paramétrica. Da condição x-y=0 vem y=x, então
V = (x,x,z)mid x,zinR = span(1,1,0),,(0,0,1)
Assim (1,1,0),,(0,0,1) é uma base de V.

Passo 3

Escolhemos um vetor fora de V. Por exemplo,
v = (1,-1,0)
Note que em v temos 1 - (-1)=2neq0, logo vnotin V. Definimos
W = spanv

Passo 4

Mostramos que Vcap W=0. Se alpha,vin V, então
alpha(1,-1,0) = (x,x,z)
para algum (x,x,z). Comparando coordenadas:
alpha = x, -alpha = x, 0 = z
implica alpha = -alpha, ou seja alpha=0. Logo só o vetor nulo está na interseção.

Passo 5

Como dim V=2, dim W=1 e Vcap W=0, temos
dim(V+W) = dim V + dim W - dim(Vcap W) = 2 + 1 - 0 = 3
Mas R^3 também tem dimensão 3, então V+W=R^3.

Resposta

Podemos tomar
W = span(1,-1,0),
pois então Voplus W = R^3.

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