Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto V = M2(R), que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Queremos encontrar U, que é o subespaço gerado pelas duas matrizes dadas:
A = -1 & 2 -2 & 3 , B = 3 & -1 1 & 1
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre combinações lineares de matrizes e sobre como determinar se essas matrizes são linearmente independentes. Isso nos ajudará a entender a estrutura de U.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que U é gerado por A e B. Isso quer dizer que todo elemento de U pode ser escrito como uma combinação linear de A e B. Matematicamente, qualquer matriz C in U pode ser expressa como:
C = kA + lB
onde k e l são números reais.
Passo 3
Agora, vamos escrever essa combinação linear explicitamente:
C = k -1 & 2 -2 & 3 + l 3 & -1 1 & 1 = -k + 3l & 2k - l -2k + l & 3k + l
Isso nos mostra que qualquer matriz em U tem a forma:
-k + 3l & 2k - l -2k + l & 3k + l
Passo 4
Para entender melhor o subespaço U, vamos verificar se as matrizes A e B são linearmente independentes. Isso significa verificar se a única solução para a equação kA + lB = 0 é k = 0 e l = 0.
Montamos o sistema de equações a partir das entradas das matrizes:
- k + 3l = 0 2k - l = 0 -2k + l = 0 3k + l = 0
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: 2k - l = 0Rightarrowl = 2k
Substituindo na primeira equação: -k + 3(2k) = -k + 6k = 5k = 0Rightarrowk = 0
Então, l = 2k = 0
Isso mostra que a única solução é k = 0 e l = 0, o que significa que A e B são linearmente independentes.
Passo 6
Como A e B são linearmente independentes, isso significa que eles formam uma base para o subespaço U. Portanto, a dimensão de U é 2.
Resposta
O subespaço U é formado por todas as combinações lineares das matrizes A e B, e tem dimensão 2. Ou seja,
U = k -1 & 2 -2 & 3 + l 3 & -1 1 & 1 ,|, k, l in R