Sejam
e
os subespaços de
formadas pelas matrizes simétricas e antissimétricas respectivamente. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre matrizes e subespaços. Temos duas categorias de matrizes em
(que são todas as matrizes
com números reais): as simétricas (onde a matriz é igual à sua transposta) e as antissimétricas (onde a matriz é igual ao negativo da sua transposta).
A matéria que vamos usar aqui envolve subespaços vetoriais e a soma direta (
). Para resolver, precisamos mostrar que qualquer matriz em
pode ser escrita de forma única como a soma de uma matriz simétrica e uma antissimétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser simétrica ou antissimétrica.
-
Matriz Simétrica (
): Uma matriz é simétrica se , onde é a transposta de . -
Matriz Antissimétrica (
): Uma matriz é antissimétrica se .
Passo 3
Agora, queremos mostrar que qualquer matriz
em
pode ser escrita como
, onde
e
.
Para isso, vamos construir
e
a partir de
.
Passo 4
Vamos definir:
Vamos ver por que essas definições funcionam.
Passo 5
Primeiro, vamos verificar que
é simétrica:
Então,
é realmente simétrica.
Passo 6
Agora, vamos verificar que
é antissimétrica:
Portanto,
é antissimétrica.
Passo 7
Agora, somando
e
:
Isso mostra que qualquer matriz
pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma antissimétrica.
Passo 8
Finalmente, precisamos garantir que essa representação é única, ou seja,
significa que a interseção de
e
é apenas a matriz zero. Se
e
é simétrica e
é antissimétrica, então
. Somando
com
, obtemos
, então
e, consequentemente,
. Isso confirma a unicidade.
Resposta
Logo, mostramos que
, ou seja, todo matriz pode ser única e exclusivamente decomposta em uma matriz simétrica mais uma antissimétrica.