Sejam S e A os subespaços de Mn(R) formadas pelas matrizes simétricas e antissimétricas respectivamente. Mostre que Mn(R)=S oplus A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre matrizes e subespaços. Temos duas categorias de matrizes em Mn(R) (que são todas as matrizes n times n com números reais): as simétricas (onde a matriz é igual à sua transposta) e as antissimétricas (onde a matriz é igual ao negativo da sua transposta).
A matéria que vamos usar aqui envolve subespaços vetoriais e a soma direta ( oplus). Para resolver, precisamos mostrar que qualquer matriz em Mn(R) pode ser escrita de forma única como a soma de uma matriz simétrica e uma antissimétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser simétrica ou antissimétrica.
  • Matriz Simétrica ( S): Uma matriz S é simétrica se S^T = S, onde S^T é a transposta de S.
  • Matriz Antissimétrica ( A): Uma matriz A é antissimétrica se A^T = -A.

Passo 3

Agora, queremos mostrar que qualquer matriz M em Mn(R) pode ser escrita como M = S + A, onde S in S e A in A.
Para isso, vamos construir S e A a partir de M.

Passo 4

Vamos definir:
S = M + M^T2
A = M - M^T2
Vamos ver por que essas definições funcionam.

Passo 5

Primeiro, vamos verificar que S é simétrica:
S^T = ( M + M^T2 )^T = M^T + (M^T)^T2 = M^T + M2 = S
Então, S é realmente simétrica.

Passo 6

Agora, vamos verificar que A é antissimétrica:
A^T = ( M - M^T2 )^T = M^T - (M^T)^T2 = M^T - M2 = -( M - M^T2 ) = -A
Portanto, A é antissimétrica.

Passo 7

Agora, somando S e A:
S + A = M + M^T2 + M - M^T2 = 2M2 = M
Isso mostra que qualquer matriz M pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma antissimétrica.

Passo 8

Finalmente, precisamos garantir que essa representação é única, ou seja, S oplus A significa que a interseção de S e A é apenas a matriz zero. Se S + A = 0 e S é simétrica e A é antissimétrica, então S = -A. Somando S = -A com S = A, obtemos 2S = 0, então S = 0 e, consequentemente, A = 0. Isso confirma a unicidade.

Resposta

Logo, mostramos que Mn(R) = S oplus A, ou seja, todo matriz pode ser única e exclusivamente decomposta em uma matriz simétrica mais uma antissimétrica.

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