Seja
. Determinar o subespaço gerado pelo vetor
. Este subespaço representa uma reta que passa pela origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir qual é o subespaço gerado pelo vetor u = (3, 2, 1) no espaço tridimensional ℝ³. Isso está ligado a conceitos de álgebra linear, especialmente sobre como vetores podem gerar linhas, planos ou outros subespaços dentro de um espaço maior. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um subespaço ser “gerado” por um vetor e como representá-lo matematicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço é basicamente um conjunto de vetores que satisfaz três condições: inclui o vetor zero, é fechado sob adição de vetores e é fechado sob multiplicação por escalar. Quando temos um único vetor, como o nosso u = (3, 2, 1), o subespaço que ele gera é composto por todas as combinações lineares desse vetor. Ou seja, todos os vetores que você consegue formar multiplicando u por diferentes números reais.
Passo 3
Então, para gerar esse subespaço, vamos pensar em todas as possíveis multiplicações do vetor u por um número real qualquer, que vamos chamar de t. Isso significa que cada vetor no subespaço pode ser escrito como t · u. Vamos expressar isso matematicamente.
Passo 4
Matematicamente, o subespaço gerado pelo vetor u é representado por:
Isso quer dizer que qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como (3t, 2t, t), onde t é um número real. Geometricamente, isso representa uma reta que passa pela origem e que está na direção do vetor u.
Resposta
O subespaço gerado pelo vetor u = (3, 2, 1) é a reta formada por todos os vetores da forma (3t, 2t, t), onde t é um número real. Em termos matemáticos: