Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são subespaços de R^3 ?
W=(x, y, z) in R^3: x-3 z=0

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
W=(x,y,z)inR^3: x-3z=0
e pede para verificar se W é subespaço de R^3.
Conteúdo: definição de subespaço vetorial. Precisamos checar três condições:
  1. W não é vazio (contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar que o vetor nulo 0=(0,0,0) está em W.
Substituindo em x-3z=0 temos
0 - 3cdot 0 = 0,
logo (0,0,0)in W.

Passo 3

Verificar fechamento sob soma.
Sejam
u=(x1,y1,z1)in W, v=(x2,y2,z2)in W,
então
x1 - 3z1 = 0 e x2 - 3z2 = 0
Para u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2) calculamos
(x1+x2) - 3(z1+z2) =(x1-3z1)+(x2-3z2) =0+0 =0,
logo u+vin W.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação escalar.
Para u=(x1,y1,z1)in W e cinR,
cu = (c,x1,;c,y1,;c,z1),
e
(c,x1)-3(c,z1) = c,(x1-3z1) = ccdot 0 =0,
logo cuin W.

Resposta

W é subespaço de R^3.

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