Dado um subespaço L subset V prove que existe M tal que V=L oplus M. O subespaço M é chamado subespaço complementar a L.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos um espaço vetorial V e um subespaço L ⊂ V. Queremos mostrar que existe outro subespaço M de V tal que V é a soma direta de L e M, isto é, V = L ⊕ M. O conteúdo principal é a extensão de base em espaços vetoriais.

Passo 2

Como primeiro passo na resolução, escolhemos uma base de L. Por definição de subespaço, L possui uma base B_L. Escrevemos B_L = {v₁, v₂, …, v_k}. Essa base gera L, ou seja, L = span(B_L).

Passo 3

Em seguida, estendemos a base B_L de L para uma base B_V de V. Pelo teorema da extensão de base (ou usando o Lema de Zorn em caso infinito), existe um conjunto de vetores {w₁, w₂, …, w_m} em V tal que B_V = B_L ∪ {w₁, …, w_m} seja base de V.

Passo 4

Definimos então o subespaço M como M = span({w₁, w₂, …, w_m}). Vamos verificar que L ∩ M = {0}. De fato, um vetor x em L ∩ M pode ser escrito de duas formas: como combinação linear de B_L e de {w_j}. Mas como B_V é base de V, a expressão de x em termos de B_L ∪ {w_j} é única. Se x ∈ L∩M, seus coeficientes relativos a B_L devem ser zero (pois está em M) e seus coeficientes relativos a {w_j} também devem ser zero (pois está em L). Logo, x = 0.

Passo 5

Por fim, mostramos que L + M = V. Qualquer vetor v ∈ V pode ser expresso de forma única como combinação linear dos vetores de B_V = B_L ∪ {w_j}. Essa expressão se separa em parte que é combinação de B_L (um vetor em L) mais parte que é combinação de {w_j} (um vetor em M). Assim, v ∈ L + M. Portanto, V = L ⊕ M.

Resposta

O subespaço complementar M existe e pode ser construído estendendo uma base de L a uma base de V; definindo M como o espaço gerado pelos vetores adicionados, obtemos V = L ⊕ M.

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