Questão 2

Seja A B C um triangulo tal que |A B|=3,|A C|=raiz5 e o angulo entre A B e A C seja (A B, A C)=pi3.
a. Calcular a area do triangulo ABC .
b. Calcular |A B+A C|.

Passo 1

Temos um triângulo ABC com |AB|=3, |AC|=raiz5 e o ângulo entre eles ang<=(AB,AC)=pi/3. Para resolver as partes, vamos usar: (a) área do triângulo via fórmula tfrac12absintheta; (b) norma da soma de vetores via |u+v|^2=|u|^2+|v|^2+2|u||v|costheta.

Passo 2

Para calcular a área, aplicamos a fórmula abaixo, que vem do módulo do produto vetorial ou da expressão tfrac12absintheta:
$$Área = \frac12,|\overrightarrow{AB}|,|\overrightarrow{AC}|,\sin\bigl(\angle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\bigr).
Área = 12,|AB|,|AC|,sinl(ang<=(AB,AC)r) Área=\frac12\cdot3\cdot\sqrt5\cdot\frac{\sqrt3}2=\frac{3\sqrt{15}}4.$$

Passo 3

Para encontrar |AB+AC|, usamos a identidade que vem da definição de produto escalar:
$$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|2=|\overrightarrow{AB}|2+|\overrightarrow{AC}|^2+2,|\overrightarrow{AB}|,|\overrightarrow{AC}|,\cos(\pi/3).
|AB+AC|^2=|AB|^2+|AC|^2+2,|AB|,|AC|,cos(pi/3) |\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|^2=9+5+2\cdot3\cdot\sqrt5\cdot\tfrac12=14+3\sqrt5.$$
Portanto,
$$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=\sqrt{14+3\sqrt5}.
$$

Resposta

Área = tfrac3raiz154; |AB+AC|=raiz14+3raiz5.

Exercícios relacionados