Questão 3
Sabendo que a projeção de
sobre
é
e,
, determinar
.
Passo 1
O enunciado pede para achar o vetor
sabendo que sua projeção sobre
é
, que
, que
e ainda que
. O conteúdo envolvido é projeção de vetores, decomposição em parte paralela e ortogonal, norma e produto interno.
Passo 2
A projeção de
sobre
é dada por
Como isso vale
e
, definindo
temos:
Comparando coordenadas,
, logo
.
Passo 3
Sabendo que todo vetor se decompõe em parte paralela e parte ortogonal a
, escrevemos
onde
é ortogonal a
, isto é
.
Passo 4
Como
e
, pela soma de quadrados da norma:
logo
.
Passo 5
Para encontrar
com
temos:
Além disso
dá
, então
ou
.
Passo 6
Isso gera dois candidatos para
:
ou
Passo 7
Por fim, usamos a condição
. Para
a soma das componentes é
, mas para
é
. Portanto escolhemos
.