Questão 3

Sabendo que a projeção de u sobre v é (-1,2), v=(-2,4),|u|=raiz10 e, lang<=u,(1,1)rang<=<0, determinar u.

Passo 1

O enunciado pede para achar o vetor vec u sabendo que sua projeção sobre vec v é (-1,2), que vec v = (-2,4), que |vec u| = raiz10 e ainda que lang<= vec u,(1,1)rang<= < 0. O conteúdo envolvido é projeção de vetores, decomposição em parte paralela e ortogonal, norma e produto interno.

Passo 2

A projeção de vec u sobre vec v é dada por
projvec v(vec u)=lang<= vec u,vec vrang<=lang<= vec v,vec vrang<=,vec v
Como isso vale (-1,2) e lang<= vec v,vec vrang<= = (-2)^2+4^2=20, definindo k=lang<= vec u,vec vrang<=20 temos:
k,(-2,4)=(-1,2)
Comparando coordenadas, k=1/2, logo lang<= vec u,vec vrang<==20cdottfrac12=10.

Passo 3

Sabendo que todo vetor se decompõe em parte paralela e parte ortogonal a vec v, escrevemos
vec u = projvec v(vec u)+vec w = (-1,2)+vec w,
onde vec w é ortogonal a vec v, isto é lang<= vec w,vec vrang<==0.

Passo 4

Como |vec u|^2=10 e |(-1,2)|^2=1+4=5, pela soma de quadrados da norma:
|vec w|^2=|vec u|^2-|projvec v(vec u)|^2=10-5=5,
logo |vec w|=raiz5.

Passo 5

Para encontrar vec w=(x,y) com lang<= vec w,vec vrang<==0 temos:
(-2)x+4y=0implies x=2y
Além disso |vec w|^2=(2y)^2+y^2=5y^2=5 y=pm1, então vec w=(2,1) ou (-2,-1).

Passo 6

Isso gera dois candidatos para vec u=projvec v(vec u)+vec w:
(-1,2)+(2,1)=(1,3),
ou
(-1,2)+(-2,-1)=(-3,1)

Passo 7

Por fim, usamos a condição lang<= vec u,(1,1)rang<= <0. Para (1,3) a soma das componentes é 1+3=4>0, mas para (-3,1) é -3+1=-2<0. Portanto escolhemos vec u=(-3,1).

Resposta

vec u=(-3,1)

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