Questão 1

Considere os vetores u=-1 j+2 k, v=1 i+1 j-2 k e w=1 i+2 j+1 k.
Verdadeiro ou falso? Justifique todas as opções falsas. (Não precisa justificar as opções verdadeiras.)
a. Os vetores u e v são LI.
b. u, v é uma base do espaço.
c. u, v, w é uma base negativa.
d. u times v é um vetor ortogonal a u e v ao mesmo tempo.
e. O angulo entre v e w é pi4.
f. A área do paralelogramo de arestas u e v é raiz5.
g. O volume do paralelepípedo de arestas u, v e w é igual a raiz5.
h. Os vetores u e v são ortogonais.
i. Os vetores u, v e w são LD.
j. projw v=(-2,-4,-2).

Passo 1

A questão dá os vetores vec u=(0,-1,2), vec v=(1,1,-2) e vec w=(1,2,1) e nos pede para avaliar várias afirmações sobre independência linear, base, orientação, produto vetorial, ângulo, área, volume, ortogonalidade e projeção. Vamos usar teoria de matrizes, produto escalar, produto vetorial e determinantes.

Passo 2

Para ver se vec u e vec v são linearmente independentes, checamos se existe alpha tal que vec u=alphavec v. Isso leva ao sistema 0=alpha,; -1=alpha,;2=-2alpha, que não tem solução. Logo são LI, então (a) é verdadeira.

Passo 3

Uma base de R^3 precisa de 3 vetores LI. Como vec u,vec v tem apenas 2 vetores, não gera todo R^3. Logo (b) é falsa.

Passo 4

Para determinar a orientação de vec u,vec v,vec w, calculamos o determinante da matriz cujas colunas são os vetores:
det[vec u,vec v,vec w]=det0&1&1-1&1&22&-2&1=5>0
Como o determinante é positivo, a base é positiva, não negativa. Logo © é falsa.

Passo 5

O produto vetorial vec utimesvec v gera um vetor orthogonal a ambos por definição do produto vetorial. Logo (d) é verdadeira.

Passo 6

O ângulo entre vec v e vec w vem de
costheta=vec vcdotvec w|vec v|,|vec w|=1raiz6raiz6=16,
que dá theta=arccos(1/6)neqpi/4. Logo (e) é falsa.

Passo 7

A área do paralelogramo formado por vec u e vec v é |vec utimesvec v|. Calculando
vec utimesvec v=(0,-1,2)times(1,1,-2)=(0,2,1),
fica |(0,2,1)|=raiz0+4+1=raiz5. Então (f) é verdadeira.

Passo 8

O volume do paralelepípedo é |det[vec u,vec v,vec w]|=|5|=5, não raiz5. Logo (g) é falsa.

Passo 9

Do produto escalar vec ucdotvec v=0cdot1+(-1)cdot1+2cdot(-2)=-5neq0, concluímos que eles não são ortogonais. Logo (h) é falsa.

Passo 10

Como já vimos det[vec u,vec v,vec w]=5neq0, os três vetores são LI, não LD. Logo (i) é falsa.

Passo 11

A projeção de vec v sobre vec w é dada por
projvec wvec v=vec vcdotvec w|vec w|^2,vec w=16(1,2,1)=(tfrac16,tfrac13,tfrac16),
que não é (-2,-4,-2). Logo (j) é falsa.

Resposta

a) Verdadeiro; b) Falso; c) Falso; d) Verdadeiro; e) Falso; f) Verdadeiro; g) Falso; h) Falso; i) Falso; j) Falso.

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