Considere os vetores e .
Verdadeiro ou falso? Justifique todas as opções falsas. (Não precisa justificar as opções verdadeiras.)
a. Os vetores e são LI.
b. é uma base do espaço.
c. é uma base negativa.
d. é um vetor ortogonal a e ao mesmo tempo.
e. O angulo entre e é .
f. A área do paralelogramo de arestas e é .
g. O volume do paralelepípedo de arestas e é igual a .
h. Os vetores e são ortogonais.
i. Os vetores e são LD.
j. .
Passo 1
A questão dá os vetores , e e nos pede para avaliar várias afirmações sobre independência linear, base, orientação, produto vetorial, ângulo, área, volume, ortogonalidade e projeção. Vamos usar teoria de matrizes, produto escalar, produto vetorial e determinantes.
Passo 2
Para ver se e são linearmente independentes, checamos se existe tal que . Isso leva ao sistema , que não tem solução. Logo são LI, então (a) é verdadeira.
Passo 3
Uma base de precisa de 3 vetores LI. Como tem apenas 2 vetores, não gera todo . Logo (b) é falsa.
Passo 4
Para determinar a orientação de , calculamos o determinante da matriz cujas colunas são os vetores: