Dados o ponto A=(1,2,3), a reta r: X=(2,1,-1)+t(1,0,2), t in R e os planos
alpha: 2 x+y-z+1=0 e lx=1+t y=2+t-h, t, h in R, z=-1+t+h,
Calcular o angulo entre alpha a beta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o ângulo entre os planos α e β. Esse conteúdo é de geometria analítica em R^3, e para resolver precisamos dos vetores normais a cada plano, visto que o ângulo entre planos é o mesmo que o ângulo entre seus vetores normais.

Passo 2

Para o plano alpha dado por 2x+y-z+1=0, o vetor normal é diretamente nalpha=(2,1,-1), pois um plano na forma ax+by+cz+d=0 tem normal (a,b,c).

Passo 3

O plano beta está em forma paramétrica: x=1+t, y=2+t-h, z=-1+t+h. Os vetores diretores são obtidos derivando em relação a t e h: vt=(1,1,1) e vh=(0,-1,1). O vetor normal a beta é o produto vetorial desses vetores:
nbeta = vt times vh = (1,1,1) times (0,-1,1) = (2,-1,-1)

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do cosseno do ângulo entre vetores normais:
cos phi = lvert nalpha cdot nbetarvert|nalpha|,|nbeta|

Passo 5

Calculamos nalphacdot nbeta = 2cdot2 + 1cdot(-1) + (-1)cdot(-1) = 4, e as normas |nalpha|=raiz6, |nbeta|=raiz6. Assim
cos phi = 4raiz6,raiz6 = 46 = 23

Passo 6

Logo o ângulo agudo entre os planos é dado por phi = arccosl(tfrac23r).

Resposta

phi = arccosl(tfrac23r)

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