Dado
não-vazio, limitado inferiormente, definimos
Prove que
é limitado superiormente e que
.
Passo 1
Beleza! A questão diz que temos um conjunto
, não-vazio e limitado inferiormente. Definimos
O que a gente precisa mostrar é que:
-
é limitado superiormente; -
.
Conteúdo: propriedade de limites inferiores e superiores, definição de supremo e ínfimo, e como essas quantidades mudam quando a gente multiplica tudo por
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de “limitado inferiormente”: existe um número
tal que
Esse
é um limitante inferior. Agora, para mostrar que
é limitado superiormente, basta encontrar um número que seja cota superior de
.
Pegamos a desigualdade
. Multiplicando tudo por
(e invertendo o sinal da desigualdade), vem
Mas
percorre exatamente os elementos de
. Logo
o que mostra que
é cota superior de
. Então concluímos que
é limitado superiormente.
Passo 3
Agora entra a parte de supremum. A gente quer provar que
Lembrando que:
-
é o maior dos limitantes inferiores de . -
é o menor dos limitantes superiores de .
Vamos fazer em dois chutes (duas desigualdades):
- “
é um limitante superior de ”.
Já vimos indiretamente isso: separa todo , então para todo elemento de . Logo é cota superior de , e como supremo é o menor de todas as cotas, temos
- “
”.
Para mostrar isso, usamos a característica de supremum: para todo, existe algum elemento de maior que . Mas em termos de e : - Como
é o maior limitante inferior de , para qualquer existe um tal que
- Como
- Multiplicando por
,
E \(-x\) é um elemento de \(-A\). Isso garante que \(-\inf(A)\) não pode ficar muito acima de \(\sup(-A)\); formalmente
Combinações das duas dão
Resposta
- O conjunto
é limitado superiormente (uma cota é , onde é cota inferior de ). - Além disso, vale
.