Dado A subset R não-vazio, limitado inferiormente, definimos
-A=-x ; x in A Prova de
Prove que -A é limitado superiormente e que sup (-A)=-inf A.

Passo 1

Beleza! A questão diz que temos um conjunto AsubsetR, não-vazio e limitado inferiormente. Definimos
-A = -x ;;; xin A
O que a gente precisa mostrar é que:
  1. -A é limitado superiormente;
  2. sup(-A) = -,inf(A).
Conteúdo: propriedade de limites inferiores e superiores, definição de supremo e ínfimo, e como essas quantidades mudam quando a gente multiplica tudo por -1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de “limitado inferiormente”: existe um número minR tal que
m <= x para todo xin A
Esse m é um limitante inferior. Agora, para mostrar que -A é limitado superiormente, basta encontrar um número que seja cota superior de -A.
Pegamos a desigualdade m<= x. Multiplicando tudo por -1 (e invertendo o sinal da desigualdade), vem
-m ;>=; -x para todo xin A
Mas -x percorre exatamente os elementos de -A. Logo
-x <= -m forall; -xin -A,
o que mostra que -m é cota superior de -A. Então concluímos que -A é limitado superiormente.

Passo 3

Agora entra a parte de supremum. A gente quer provar que
Lembrando que:
  • é o maior dos limitantes inferiores de .
  • é o menor dos limitantes superiores de .
Vamos fazer em dois chutes (duas desigualdades):
  1. é um limitante superior de ”.
    Já vimos indiretamente isso: se para todo , então para todo elemento de . Logo é cota superior de , e como supremo é o menor de todas as cotas, temos
  1. ”.
    Para mostrar isso, usamos a característica de supremum: para todo , existe algum elemento de maior que . Mas em termos de e :
    • Como é o maior limitante inferior de , para qualquer existe um tal que
  • Multiplicando por ,
 E \(-x\) é um elemento de \(-A\). Isso garante que \(-\inf(A)\) não pode ficar muito acima de \(\sup(-A)\); formalmente  
ãç
Combinações das duas dão

Resposta

  • O conjunto -A é limitado superiormente (uma cota é -m, onde m é cota inferior de A).
  • Além disso, vale sup(-A) = -,inf(A).

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