Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
y^{\prime \prime}+y=\cos x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' + y = cos x
que é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos decompor em solução homogênea ( yh) e particular ( yp).

Passo 2

Encontramos primeiro a solução homogênea resolvendo
y'' + y = 0
A equação característica é
r^2 + 1 = 0 Longrightarrow r = pm i,
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yh(x) = C1cos x + C2sin x

Passo 3

Para a solução particular, como o termo forçante cos x coincide com uma solução da homogênea, usamos o método dos coeficientes a determinar com fator x. Proponho
yp(x) = A,xsin x

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = Asin x + A xcos x,
yp'' = Acos x + Acos x - A xsin x = 2Acos x - A xsin x
Substituindo em y''+y=cos x:
yp'' + yp = l(2Acos x - A xsin xr) + A xsin x = 2Acos x
Para ter 2Acos x = cos x precisamos de 2A=1, isto é,
A = tfrac12

Passo 5

A solução geral é a soma de yh e yp:
y(x) = C1cos x + C2sin x + tfrac12,xsin x

Resposta

y(x) = C1cos x + C2sin x + tfrac12,xsin x

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