Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
y^{\prime \prime}+y=\cos x
y^{\prime \prime}+y=\cos x
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
que é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos decompor em solução homogênea (
) e particular (
).
Passo 2
Encontramos primeiro a solução homogênea resolvendo
A equação característica é
logo
Passo 3
Para a solução particular, como o termo forçante
coincide com uma solução da homogênea, usamos o método dos coeficientes a determinar com fator
. Proponho
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo em
:
Para ter
precisamos de
, isto é,
Passo 5
A solução geral é a soma de
e
: