Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
y^{\prime \prime}+y=x \operatorname{sen} x
y^{\prime \prime}+y=x \operatorname{sen} x
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
Vamos encontrar primeiro a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular por coeficientes a determinar.
Passo 2
A equação homogênea é
A equação característica é
, com raízes
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para achar uma solução particular
usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo forçante é
(polinômio de grau 1 vezes
) e
fazem parte da homogênea, multiplicamos por
. Assim tomamos o “ansatz”
Passo 4
Calculando
e igualando ao lado direito
obtemos o sistema de equações para
. Ao resolver esse sistema surge
Substituindo de volta,
Resposta
A solução geral é