Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
y^{\prime \prime}+y=x \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y'' + y = xsin x
Vamos encontrar primeiro a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular por coeficientes a determinar.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' + y = 0
A equação característica é r^2 + 1 = 0, com raízes r = pm i. Logo a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1cos x + C2sin x

Passo 3

Para achar uma solução particular yp usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo forçante é xsin x (polinômio de grau 1 vezes sin x) e sin x,cos x fazem parte da homogênea, multiplicamos por x. Assim tomamos o “ansatz”
yp(x) = (A x^2 + B x)cos x ;+;(C x^2 + D x)sin x

Passo 4

Calculando yp''+yp e igualando ao lado direito xsin x obtemos o sistema de equações para A,B,C,D. Ao resolver esse sistema surge
A = -tfrac14, B=0, C=0, D=tfrac14
Substituindo de volta,
yp(x) = -14x^2cos x ;+;14xsin x

Resposta

A solução geral é
y(x) = C1cos x + C2sin x ;-;x^24cos x + x4sin x

Exercícios relacionados