Seja V um e.v. sobre um corpo K algebricamente fechado e lambda1, ldots, lambdar in K os autovalores de T e q(T). Mostre que é nilpotente. Qual o índice de nilpotência?

Passo 1

A questão diz que temos um espaço vetorial V sobre um corpo $\x1b[1mK\x1b[0m$ (fechado) e um endomorfismo $\x1b[1mT:V\to V\x1b[0m$ cujos autovalores são $\x1b[1m\lambda_1,\dots,\lambda_r\x1b[0m$. Definimos a função polinomial $\x1b[1mq(x)=(x-\lambda_1),\cdots,(x-\lambda_r)\x1b[0m$. O objetivo é mostrar que $\x1b[1mq(T)\x1b[0m$ é nilpotente e achar seu índice de nilpotência. Vamos usar a decomposição em espaços próprios generalizados e a forma de Jordan.

Passo 2

Para resolver, lembramos o Teorema da Decomposição Primária: como $\x1b[1mK\x1b[0m$ é alg. fechado, $\x1b[1mV\x1b[0m$ se decompõe em soma direta dos espaços próprios generalizados de $\x1b[1mT\x1b[0m$:
$$
V ,=\bigoplus_{i=1}^r V_{\lambda_i},
$$
onde $\x1b[1mV_{\lambda_i}=\ker((T-\lambda_i I)^{d_i})\x1b[0m$ para algum $\x1b[1md_i\x1b[0m$ suficientemente grande.
Em cada componente $\x1b[1mV_{\lambda_i}\x1b[0m$, podemos escrever a restrição de $\x1b[1mT\x1b[0m$ como $\x1b[1mT|{V{\lambda_i}}=\lambda_i I + N_i\x1b[0m$, onde $\x1b[1mN_i=(T-\lambda_i I)|{V{\lambda_i}}$ é nilpotente. De fato, $\x1b[1mN_i^{d_i}=0\x1b[0m$ sendo $\x1b[1md_i\x1b[0m$ o tamanho do maior bloco de Jordan associado a $\x1b[1m\lambda_i\x1b[0m$.

Passo 3

Agora, avaliem $\x1b[1mq(T)$ atuando em $\x1b[1mV_{\lambda_i}\x1b[0m$. Como
$$
q(T)=\prod_{j=1}^r(T-\lambda_j I),
$$
podemos organizar esse produto como
$$
q(T)=\Bigl(\prod_{j\neq i}(T-\lambda_j I)\Bigr),(T-\lambda_i I).
$$
Em $\x1b[1mV_{\lambda_i}\u001b[0m$, $\x1b[1mT-\lambda_i I=N_i\x1b[0m$ é nilpotente, e cada fator $\x1b[1mT-\lambda_j I\x1b[0m$ com $\x1b[1mj\neq i\x1b[0m$ torna-se invertível (pois age como $\x1b[1m(\lambda_i-\lambda_j)I+N_i\x1b[0m$ e $\x1b[1m\lambda_i-\lambda_j\neq0\x1b[0m$). Logo nessa componente
$$
q(T)|{V{\lambda_i}}=\bigl(invertível\bigr)\cdot N_i
$$
où todo produto de um operador invertível com um nilpotente é nilpotente. Assim, $\x1b[1mq(T)\big|{V{\lambda_i}}$ é nilpotente.

Passo 4

Como $\x1b[1mV$ é soma direta das $\x1b[1mV_{\lambda_i}$, $\x1b[1mq(T)$ será nilpotente em todo $\x1b[1mV$. O índice de nilpotência de $\x1b[1mq(T)$ é o menor $\x1b[1mN$ tal que $\x1b[1mq(T)^N=0$. Mas restringindo a $\x1b[1mV_{\lambda_i}$, temos $\x1b[1mq(T)N|_{V_{\lambda_i}}=(\text{invertível})N N_i^N$, que só zera quando $\x1b[1mN\ge d_i$. Portanto o menor $\x1b[1mN$ que funciona em todo $\x1b[1mV$ é $\x1b[1m\max_i d_i$.

Passo 5

Recapitulando, $\x1b[1mq(T)$ é nilpotente por agir como nilpotente em cada espaço generalizado, e seu índice de nilpotência é o tamanho do maior bloco de Jordan de $\x1b[1mT$, i.e., o maior $\x1b[1md_i$ que aparece no polinômio mínimo.

Resposta

O índice de nilpotência de q(T) é maxi=1,dots,r di, onde di é o tamanho do maior bloco de Jordan associado ao autovalor lambdai (i.e., o expoente de (x-lambdai) no polinômio mínimo de T).

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