Dado
tal que
e
. Encontre a derivada da função:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer. A gente tem a função
e queremos encontrar a sua derivada. O intervalo de
é entre
e
, mas
não pode ser igual a
. Para resolver isso, vamos usar as propriedades dos logaritmos e as regras de derivação, como a regra do quociente e a derivada de funções logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
usando logaritmos naturais (
), porque fica mais fácil de trabalhar com eles na derivação. Lembra que:
Então, aplicando isso à nossa função:
Passo 3
Agora, precisamos derivar
. Para isso, vamos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos uma função da forma
, a derivada dela é:
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
.
Primeiro, para
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
é
. Então:
Seguindo, para
, a derivada é mais direta:
Passo 5
Agora, substituímos
,
,
e
na fórmula da regra do quociente:
Simplificando isso, temos:
Resposta
A derivada da função é: