Dado x in R tal que x in] 0, pi2[ e x neq 1. Encontre a derivada da função:
f(x)=log x cos x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer. A gente tem a função f(x) = logx cos x e queremos encontrar a sua derivada. O intervalo de x é entre 0 e pi2 , mas x não pode ser igual a 1 . Para resolver isso, vamos usar as propriedades dos logaritmos e as regras de derivação, como a regra do quociente e a derivada de funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função f(x) = logx cos x usando logaritmos naturais ( ln ), porque fica mais fácil de trabalhar com eles na derivação. Lembra que:
loga b = ln bln a
Então, aplicando isso à nossa função:
f(x) = ln (cos x)ln x

Passo 3

Agora, precisamos derivar f(x) = ln (cos x)ln x . Para isso, vamos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos uma função da forma u(x)v(x) , a derivada dela é:
f'(x) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)[v(x)]^2
No nosso caso, u(x) = ln (cos x) e v(x) = ln x .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de u(x) e v(x) .
Primeiro, para u(x) = ln (cos x) , usamos a regra da cadeia. A derivada de ln g(x) é g'(x)g(x) . Então:
u'(x) = ddx [ln (cos x)] = -sin xcos x = -tan x
Seguindo, para v(x) = ln x , a derivada é mais direta:
v'(x) = ddx [ln x] = 1x

Passo 5

Agora, substituímos u'(x) , u(x) , v'(x) e v(x) na fórmula da regra do quociente:
f'(x) = (-tan x) cdot ln x - ln (cos x) cdot 1x(ln x)^2
Simplificando isso, temos:
f'(x) = -tan x cdot ln x - dfracln (cos x)x (ln x)^2

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = -tan x cdot ln x - dfracln (cos x)x (ln x)^2

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