Seja
um subespaço formado pelos funcionais
tais que
contém os vetores
e (
). Ache uma base de
.
Passo 1
Vamos relembrar o que o enunciado pede e quais ideias iremos usar: temos o espaço dual
, cujos elementos são funcionais lineares
. O subespaço
é formado por todos os
tais que
contém os vetores
e
. Para resolver, vamos usar a definição de funcional linear por coordenadas e impor as condições de núcleo.
Passo 2
Representamos um funcional
por coordenadas na base canônica de
. Ou seja, para
, temos
com
. A condição
equivale a
Passo 3
Substituindo as coordenadas na expressão de
, obtemos o sistema
Isso são duas equações lineares em
.
Passo 4
Resolvendo o sistema, podemos tomar
e
como parâmetros livres. Das equações segue
Logo
Passo 5
Para encontrar uma base de
, basta escolher valores independentes para
. Por exemplo, tomando
e
, obtemos os funcionais
Passo 6
Esses dois são linearmente independentes e geram todas as soluções, logo formam uma base de
.
Resposta
Uma base de W é dada pelos funcionais