Seja f: R^4 R um subespaço formado pelos funcionais ker f tais que (1,0,3,-2) contém os vetores 0,1,3,0 e ( W ). Ache uma base de .

Passo 1

Vamos relembrar o que o enunciado pede e quais ideias iremos usar: temos o espaço dual (R^4)^*, cujos elementos são funcionais lineares f:R^4toR. O subespaço W é formado por todos os f tais que ker f contém os vetores (1,0,3,-2) e (0,1,3,0). Para resolver, vamos usar a definição de funcional linear por coordenadas e impor as condições de núcleo.

Passo 2

Representamos um funcional f por coordenadas na base canônica de R^4. Ou seja, para x=(x1,x2,x3,x4), temos
f(x)=a x1 + b x2 + c x3 + d x4,
com (a,b,c,d)inR^4. A condição ker fsupseteq(1,0,3,-2),(0,1,3,0) equivale a
f(1,0,3,-2)=0,
f(0,1,3,0)=0

Passo 3

Substituindo as coordenadas na expressão de f, obtemos o sistema
a + 3c - 2d = 0, b + 3c = 0
Isso são duas equações lineares em (a,b,c,d).

Passo 4

Resolvendo o sistema, podemos tomar c e d como parâmetros livres. Das equações segue
a = -3c + 2d,
b = -3c
Logo
(a,b,c,d) = c(-3,-3,1,0) , + , d(2,0,0,1)

Passo 5

Para encontrar uma base de W, basta escolher valores independentes para (c,d). Por exemplo, tomando (c,d)=(1,0) e (0,1), obtemos os funcionais
f1(x)=(-3,-3,1,0)cdot(x1,x2,x3,x4) = -3x1 -3x2 + x3,
f2(x)=(2,0,0,1)cdot(x1,x2,x3,x4) = 2x1 + x4

Passo 6

Esses dois são linearmente independentes e geram todas as soluções, logo formam uma base de W.

Resposta

Uma base de W é dada pelos funcionais
f1(x)= -3x1 -3x2 + x3 e f2(x)=2x1 + x4

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