Dado
. Mostre que
é isomorfismo se e somente se
leva base em base.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que uma aplicação linear
é isomorfismo (isto é, bijetiva) exatamente quando leva qualquer base de
em uma base de
. Vamos usar conceitos de aplicação linear, injetividade, sobrejetividade, independência linear e geração por base.
Passo 2
Suponha primeiro que
seja isomorfismo. Então
é injetora e sobrejetora. Seja
uma base de
. Mostramos que
é uma base de
.
Passo 3
– Independência linear: se
então
Como
é injetora,
e, por ser
independente, todos
.
Passo 4
– Geração: dado
, existe
tal que
(sobrejetividade). Escrevendo
, aplica-se
e obtém-se
Passo 5
Agora suponha que existe uma base
de
tal que
é base de
.
Passo 6
– Injetividade: se
, escreva
. Então
Como
é independente, todos
e
.
Passo 7
– Sobrejetividade: qualquer
é combinação linear de
, digamos
. Mas então
logo
está na imagem de
. Assim mostramos as duas implicações, concluindo que
é isomorfismo se e somente se leva base em base.
Resposta
Tau é isomorfismo se e somente se leva base em base.