Dado tau in L(V, W). Mostre que tau é isomorfismo se e somente se tau leva base em base.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma aplicação linear tau: V to W é isomorfismo (isto é, bijetiva) exatamente quando leva qualquer base de V em uma base de W. Vamos usar conceitos de aplicação linear, injetividade, sobrejetividade, independência linear e geração por base.

Passo 2

Suponha primeiro que tau seja isomorfismo. Então tau é injetora e sobrejetora. Seja B = v1,dots,vn uma base de V. Mostramos que tau(B)=tau(v1),dots,tau(vn) é uma base de W.

Passo 3

– Independência linear: se
sumi=1^n ai,tau(vi)=0,
então
taul(sumi=1^n ai vir)=0
Como tau é injetora, sum ai vi=0 e, por ser B independente, todos ai=0.

Passo 4

– Geração: dado win W, existe vin V tal que tau(v)=w (sobrejetividade). Escrevendo v=sum bi vi, aplica-se tau e obtém-se
w=tau(v)=sumi=1^n bi,tau(vi), \nlogo tau(B) gera W. Portanto é base.

Passo 5

Agora suponha que existe uma base B=vi de V tal que tau(B) é base de W.

Passo 6

– Injetividade: se tau(v)=0, escreva v=sum ci vi. Então
0=tau(v)=sum ci,tau(vi)
Como tau(B) é independente, todos ci=0 e v=0.

Passo 7

– Sobrejetividade: qualquer win W é combinação linear de tau(vi), digamos w=sum di,tau(vi). Mas então
w=taul(sum di vir),
logo w está na imagem de tau. Assim mostramos as duas implicações, concluindo que tau é isomorfismo se e somente se leva base em base.

Resposta

Tau é isomorfismo se e somente se leva base em base.

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