Seja T: U V uma transformação linear e U^prime subseteq U, V^prime subseteq V subespaços vetoriais. Mostre que V é um subespaço de V^prime e que T (pré-imagem de U por Im(T) ) é um subespaço de V. Conclua que ker(T) é um subespaço de U e é um subespaço de .

Passo 1

A questão pede para mostrar que a imagem de um subespaço pela transformação linear e a pré-imagem de um subespaço também são subespaços. O conteúdo envolve definição de subespaço (não-vazio, fechado sob soma e escalar) e propriedades de transformações lineares (T(0)=0, T(u+v)=T(u)+T(v), T(λu)=λT(u)).

Passo 2

Para provar que T(u1+u2)=T(u1)+T(u2)=y1+y2 é subespaço de T(lambda u)=lambda T(u)=lambda y , verificamos as três propriedades:
• Não-vazio: como é subespaço, . Pela linearidade, , logo .
• Fechamento sob soma: se , existem tais que . Como é subespaço, . Daí
e assim .
• Fechamento sob escalar: para e , e como é subespaço . Então
logo .

Passo 3

Para provar que T(u1+u2)=T(u1)+T(u2) é subespaço de T(lambda u)=lambda T(u) , usamos similarmente:
• Não-vazio: satisfaz (pois é subespaço). Logo .
• Fechamento sob soma: se , então . Como é subespaço, . Mas
e portanto .
• Fechamento sob escalar: para e , e como é subespaço . Logo
implica .

Passo 4

Como casos especiais, tomando vemos que é subespaço de . E tomando vemos que \(
kernel(T)=T^{-1}({0})
) é subespaço de .

Resposta

Mostramos que e satisfazem as três propriedades de subespaço. Portanto é subespaço de e é subespaço de . Em particular, é subespaço de e é subespaço de .

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