Seja
uma transformação linear e
subespaços vetoriais. Mostre que
é um subespaço de
e que
(pré-imagem de
por
) é um subespaço de
. Conclua que
é um subespaço de
e
é um subespaço de
.
Passo 1
A questão pede para mostrar que a imagem de um subespaço pela transformação linear e a pré-imagem de um subespaço também são subespaços. O conteúdo envolve definição de subespaço (não-vazio, fechado sob soma e escalar) e propriedades de transformações lineares (T(0)=0, T(u+v)=T(u)+T(v), T(λu)=λT(u)).
Passo 2
Para provar que
é subespaço de
, verificamos as três propriedades:
• Não-vazio: como
é subespaço,
. Pela linearidade,
, logo
.
• Fechamento sob soma: se
, existem
tais que
. Como
é subespaço,
. Daí
e assim
.
• Fechamento sob escalar: para
e
,
e como
é subespaço
. Então
logo
.
Passo 3
Para provar que
é subespaço de
, usamos similarmente:
• Não-vazio:
satisfaz
(pois
é subespaço). Logo
.
• Fechamento sob soma: se
, então
. Como
é subespaço,
. Mas
e portanto
.
• Fechamento sob escalar: para
e
,
e como
é subespaço
. Logo
implica
.
Passo 4
Como casos especiais, tomando
vemos que
é subespaço de
. E tomando
vemos que \(
kernel(T)=T^{-1}({0})
) é subespaço de .
kernel(T)=T^{-1}({0})
) é subespaço de
Resposta
Mostramos que
e
satisfazem as três propriedades de subespaço. Portanto
é subespaço de
e
é subespaço de
. Em particular,
é subespaço de
e
é subespaço de
.