Seja
, dados
e
defina as operações:
Verifique que
com essas operaçōes é um
-espaço vetorial e que
dada por
é uma transformação linear.
Passo 1
Resumimos o enunciado da questão: o conjunto é V=(0,∞), definindo-se a “soma” por
e a multiplicação escalar por
. Precisamos mostrar que V, com essas operações, satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre
e que
, dada por
, é linear.
Passo 2
Verificamos que
é um grupo abeliano: closure em “+” ocorre porque, se
, então
. A operação é comutativa e associativa pois a multiplicação real tem essas propriedades. O elemento neutro é
, já que
. O inverso de
é
, pois
.
Passo 3
Conferimos os axiomas de multiplicação escalar: closure segue de
. Temos
. Para
e
vale
e
Passo 4
Portanto todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos.
Passo 5
Mostramos que
é linear:
Resposta
V, com as operações definidas, é um
-espaço vetorial e
é transformação linear.