Seja V=(0, infty), dados x, y in V e alpha in R defina as operações:
& x+y:=x cdot y & alpha cdot x:=x^alpha
Verifique que V com essas operaçōes é um R-espaço vetorial e que T: V R dada por T(x)=ln (x) é uma transformação linear.

Passo 1

Resumimos o enunciado da questão: o conjunto é V=(0,∞), definindo-se a “soma” por x+y:=xcdot y e a multiplicação escalar por alphacdot x:=x^alpha. Precisamos mostrar que V, com essas operações, satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre R e que T:VtoR, dada por T(x)=ln(x), é linear.

Passo 2

Verificamos que (V,+) é um grupo abeliano: closure em “+” ocorre porque, se x,y>0, então x+y=xy>0. A operação é comutativa e associativa pois a multiplicação real tem essas propriedades. O elemento neutro é 1, já que 1+y=1cdot y=y. O inverso de x é x^-1=1/x, pois x+(1/x)=xcdot(1/x)=1.

Passo 3

Conferimos os axiomas de multiplicação escalar: closure segue de x^alpha>0. Temos 1cdot x=x^1=x. Para alpha,betainR e xin V vale
(alphabeta)cdot x = x^alphabeta = l(x^betar)^alpha = alphacdot(betacdot x),
(alpha+beta)cdot x = x^alpha+beta = x^alpha,x^beta = (alphacdot x)+(betacdot x),
e
alphacdot(x+y)=alphacdot(xcdot y)=(xcdot y)^alpha=x^alphay^alpha=(alphacdot x)+(alphacdot y)

Passo 4

Portanto todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos.

Passo 5

Mostramos que T(x)=ln(x) é linear:
T(x+y)=T(xcdot y)=ln(xy)=ln(x)+ln(y)=T(x)+T(y),
T(alphacdot x)=T(x^alpha)=ln(x^alpha)=alphaln(x)=alpha T(x)

Resposta

V, com as operações definidas, é um R-espaço vetorial e T(x)=ln(x) é transformação linear.

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