Dado
, a dim (im
) é chamado de posto de
(o posto de
é denotado
). Prove que:
e
e
então
{0}.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos um espaço vetorial V de dimensão finita, um mapa linear
e sabemos que
. Precisamos provar que
. O conteúdo principal é o teorema do posto e a ideia de restringir
ao seu próprio espaço imagem.
Passo 2
Primeiro observe que
e, por definição,
Logo, se considerarmos a restrição de
ao subespaço
, temos um mapa
e esse mapa é sobrejetor por construção.
Passo 3
Como
e
, a igualdade dos postos nos dá
Mas um mapa linear sobrejetor entre espaços de mesma dimensão é também injetor. Portanto
Passo 4
Por definição de núcleo da restrição,
Logo
, como queríamos.