Dado tau: V W, a dim (im (tau))) é chamado de posto de tau (o posto de tau é denotado rk(tau) ). Prove que:
Se dim(V) e tau in L(V, W) e im(tau) cap ker(tau)= então {0}.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um espaço vetorial V de dimensão finita, um mapa linear tau:Vto W e sabemos que rk(tau^2)=rk(tau). Precisamos provar que im(tau)capker(tau)=0. O conteúdo principal é o teorema do posto e a ideia de restringir tau ao seu próprio espaço imagem.

Passo 2

Primeiro observe que tau^2=taucirctau e, por definição,
im(tau^2)=tau(tau(v)):vin V=taul(im(tau)r)
Logo, se considerarmos a restrição de tau ao subespaço im(tau), temos um mapa
tau|im(tau):im(tau)longrightarrow im(tau^2),
e esse mapa é sobrejetor por construção.

Passo 3

Como rk(tau)=diml(im(tau)r) e rk(tau^2)=diml(im(tau^2)r), a igualdade dos postos nos dá
diml(im(tau)r)=diml(im(tau^2)r)
Mas um mapa linear sobrejetor entre espaços de mesma dimensão é também injetor. Portanto
kerl(tau|im(tau)r)=0

Passo 4

Por definição de núcleo da restrição,
kerl(tau|im(tau)r)=xin im(tau):tau(x)=0=im(tau)capker(tau)
Logo im(tau)capker(tau)=0, como queríamos.

Resposta

im(tau)capker(tau)=0.

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