Dado tau: V W, a dim (im (tau))) é chamado de posto de tau (o posto de tau é denotado rk(tau) ). Prove que:
Dado tau in L(U, V) e sigma in L(V, W) então rk(sigma tau) <= min rk(sigma), rk(tau).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para duas transformações lineares tau: U to V e sigma: V to W, o posto de sigmatau é menor ou igual ao mínimo dos postos de sigma e de tau. O conteúdo é teoria de transformações lineares, imagem, dimensão de subespaços e propriedades da dimensão em inclusões.

Passo 2

Primeiro, a imagem da composição satisfaz im(sigmatau) = sigmal(im(tau)r). Isso decorre de que todo vetor em im(sigmatau) é da forma (sigmatau)(u)=sigmal(tau(u)r), logo está em sigma(im(tau)), e recíproco.

Passo 3

Como im(sigmatau) é subespaço de im(sigma), temos a inclusão im(sigmatau)subseteqim(sigma). Pela propriedade de dimensão de subespaços,
diml(im(sigmatau)r)<=diml(im(sigma)r),
ou seja, rk(sigmatau)<=rk(sigma).

Passo 4

Por outro lado, im(sigmatau)=sigma(im(tau)) é subespaço de im(tau) apenas após aplicação de sigma, mas sempre vale que a dimensão de sigma(im(tau)) não ultrapassa a de im(tau). Assim,
diml(im(sigmatau)r)=diml(sigma(im(tau))r)<=diml(im(tau)r),
logo rk(sigmatau)<=rk(tau).

Passo 5

Combinando os dois resultados, concluímos que rk(sigmatau) é menor ou igual a ambos rk(sigma) e rk(tau).

Resposta

rk(sigmatau)<=minrk(sigma),rk(tau).

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