Dado
, a dim (im
) é chamado de posto de
(o posto de
é denotado
). Prove que:
Dado
e
então
.
Dado
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para duas transformações lineares
e
, o posto de
é menor ou igual ao mínimo dos postos de
e de
. O conteúdo é teoria de transformações lineares, imagem, dimensão de subespaços e propriedades da dimensão em inclusões.
Passo 2
Primeiro, a imagem da composição satisfaz
. Isso decorre de que todo vetor em
é da forma
, logo está em
, e recíproco.
Passo 3
Como
é subespaço de
, temos a inclusão
. Pela propriedade de dimensão de subespaços,
ou seja,
Passo 4
Por outro lado,
é subespaço de
apenas após aplicação de
, mas sempre vale que a dimensão de
não ultrapassa a de
. Assim,
logo
Passo 5
Combinando os dois resultados, concluímos que
é menor ou igual a ambos
e
.