Duas transformações de coordenadas sucessivas. A eq. (22) define a transformação das coordenadas sem linha para as coordenadas com linha. De maneira similar, vamos definir a transformação das coordenadas com linha para coordenadas com duas linhas:
Mostre que
em que os coeficientes da transformação são dados por
Logo, a matriz dos coeficientes
é obtida pela multiplicação das matrizes
e
, de acordo com a regra para multiplicação de matrizes. Interpretando-se os coeficientes da transformação como os componentes dos tensores
e
, verifica-se que
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- É dada uma transformação das coordenadas sem linha para as coordenadas com linha: assumimos (pela eq. (22) mencionada) que
- É dada a transformação das coordenadas com linha para as coordenadas com duas linhas:
- O pedido é mostrar que existe uma única transformação direta das coordenadas sem linha para as coordenadas com duas linhas da forma
e encontrar explicitamente os coeficientes
, mostrando que
além de interpretar isso como multiplicação matricial e como composição de tensores.
Passo 2
Substituição direta: vamos substituir a expressão de
na fórmula de
.
Escrevendo a igualdade dada:
Como temos
, substituímos na soma:
Passo 3
Manipulação das somas: somas finitas são associativas e comutativas, então podemos trocar a ordem das somas e reagrupar termos. Desenvolvendo a expressão do passo anterior:
Agora trocamos a ordem das somas (ou agrupamos por
):
Passo 4
Definição dos novos coeficientes: ao comparar a expressão obtida com a forma desejada
, identificamos imediatamente os coeficientes transformados:
Isso resolve a parte algébrica pedida: os coeficientes da transformação composta são a soma dos produtos dos coeficientes das transformações sucessivas.
Passo 5
Interpretação matricial: se interpretarmos as tabelas
,
e
como matrizes
,
e
, então a regra
é exatamente a fórmula para o elemento
do produto matricial
. Logo, em notação matricial de vetores:
implica
e portanto
Passo 6
Interpretação como tensores e comentário didático rápido: pensar nos coeficientes
como componentes de um tensor de segunda ordem significa que a composição de duas transformações lineares corresponde à composição (produto) desses tensores, componente a componente, pela mesma regra de soma sobre um índice intermediário. Na prática de prova: sempre que você tiver
e
, faça a substituição direta e identifique os coeficientes da soma resultante; isso te dá a regra de multiplicação.
Passo 7
Exemplo numérico simples (para fixar): considere matrizes
(o raciocínio é idêntico para
):
O produto
tem elemento
e assim por diante para os outros elementos; isso mostra concretamente como cada componente de
é obtido pela soma dos produtos dos elementos correspondentes de
e
.]