Duas transformações de coordenadas sucessivas. A eq. (22) define a transformação das coordenadas sem linha para as coordenadas com linha. De maneira similar, vamos definir a transformação das coordenadas com linha para coordenadas com duas linhas:
x_{k}^{\prime \prime}=\sum_{i=1}^{3} a_{k i}^{\prime} x_{i}^{\prime}
Mostre que
x_{k}^{\prime \prime}=\sum_{j=1}^{3} a_{k j}^{\prime \prime} x_{j}
em que os coeficientes da transformação são dados por
a_{k j}^{\prime \prime}=\sum_{i=1}^{3} a_{k i}^{\prime} a_{i j}
Logo, a matriz dos coeficientes a_{k j}^{\prime \prime} é obtida pela multiplicação das matrizes a_{k i}^{\prime} e a_{i j}, de acordo com a regra para multiplicação de matrizes. Interpretando-se os coeficientes da transformação como os componentes dos tensores \mathbf{A}, \mathbf{A}^{\prime} e \mathbf{A}^{\prime \prime}, verifica-se que \mathbf{A}^{\prime \prime}=\mathbf{A}^{\prime} \cdot \mathbf{A}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dada uma transformação das coordenadas sem linha para as coordenadas com linha: assumimos (pela eq. (22) mencionada) que
x_{i}^{\prime}=\sum_{j=1}^{3} a_{i j} x_{j}.
  • É dada a transformação das coordenadas com linha para as coordenadas com duas linhas:
x_{k}^{\prime \prime}=\sum_{i=1}^{3} a_{k i}^{\prime} x_{i}^{\prime}.
  • O pedido é mostrar que existe uma única transformação direta das coordenadas sem linha para as coordenadas com duas linhas da forma
x_{k}^{\prime \prime}=\sum_{j=1}^{3} a_{k j}^{\prime \prime} x_{j},
e encontrar explicitamente os coeficientes a_{k j}^{\prime \prime}, mostrando que
a_{k j}^{\prime \prime}=\sum_{i=1}^{3} a_{k i}^{\prime} a_{i j},
além de interpretar isso como multiplicação matricial e como composição de tensores.

Passo 2

Substituição direta: vamos substituir a expressão de x_{i}^{\prime} na fórmula de x_{k}^{\prime\prime}.
Escrevendo a igualdade dada:
x_{k}^{\prime \prime}=\sum_{i=1}^{3} a_{k i}^{\prime} x_{i}^{\prime}.
Como temos \displaystyle x_{i}^{\prime}=\sum_{j=1}^{3} a_{i j} x_{j}, substituímos na soma:
x_{k}^{\prime \prime}=\sum_{i=1}^{3} a_{k i}^{\prime}\left(\sum_{j=1}^{3} a_{i j} x_{j}\right).

Passo 3

Manipulação das somas: somas finitas são associativas e comutativas, então podemos trocar a ordem das somas e reagrupar termos. Desenvolvendo a expressão do passo anterior:
x_{k}^{\prime \prime}=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} a_{k i}^{\prime} a_{i j} x_{j}.
Agora trocamos a ordem das somas (ou agrupamos por j):
x_{k}^{\prime \prime}=\sum_{j=1}^{3}\left(\sum_{i=1}^{3} a_{k i}^{\prime} a_{i j}\right) x_{j}.

Passo 4

Definição dos novos coeficientes: ao comparar a expressão obtida com a forma desejada \displaystyle x_{k}^{\prime \prime}=\sum_{j=1}^{3} a_{k j}^{\prime \prime} x_{j}, identificamos imediatamente os coeficientes transformados:
a_{k j}^{\prime \prime}=\sum_{i=1}^{3} a_{k i}^{\prime} a_{i j}.
Isso resolve a parte algébrica pedida: os coeficientes da transformação composta são a soma dos produtos dos coeficientes das transformações sucessivas.

Passo 5

Interpretação matricial: se interpretarmos as tabelas \left(a_{i j}\right), \left(a_{k i}^{\prime}\right) e \left(a_{k j}^{\prime \prime}\right) como matrizes \mathbf{A}, \mathbf{A}^{\prime} e \mathbf{A}^{\prime \prime}, então a regra
a_{k j}^{\prime \prime}=\sum_{i=1}^{3} a_{k i}^{\prime} a_{i j}
é exatamente a fórmula para o elemento (k,j) do produto matricial \mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A}. Logo, em notação matricial de vetores:
\mathbf{x}'=\mathbf{A}\,\mathbf{x},\qquad \mathbf{x}''=\mathbf{A}'\,\mathbf{x}',
implica
\mathbf{x}''=\mathbf{A}'(\mathbf{A}\,\mathbf{x})=(\mathbf{A}'\mathbf{A})\,\mathbf{x},
e portanto
\mathbf{A}''=\mathbf{A}'\mathbf{A}.

Passo 6

Interpretação como tensores e comentário didático rápido: pensar nos coeficientes a_{i j} como componentes de um tensor de segunda ordem significa que a composição de duas transformações lineares corresponde à composição (produto) desses tensores, componente a componente, pela mesma regra de soma sobre um índice intermediário. Na prática de prova: sempre que você tiver x' = A x e x'' = A' x', faça a substituição direta e identifique os coeficientes da soma resultante; isso te dá a regra de multiplicação.

Passo 7

Exemplo numérico simples (para fixar): considere matrizes 2\times2 (o raciocínio é idêntico para 3\times3):
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[2pt] 3 & 4\end{pmatrix},\qquad \mathbf{A}'=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[2pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
O produto \mathbf{A}'\mathbf{A} tem elemento (1,1)
(\mathbf{A}'\mathbf{A})_{11}=\sum_{i=1}^{2} a'_{1i}a_{i1}=a'_{11}a_{11}+a'_{12}a_{21}=0\cdot1+1\cdot3=3,
e assim por diante para os outros elementos; isso mostra concretamente como cada componente de \mathbf{A}'' é obtido pela soma dos produtos dos elementos correspondentes de \mathbf{A}' e \mathbf{A}.]

Resposta

x_{k}^{\prime \prime}=\sum_{j=1}^{3} a_{k j}^{\prime \prime} x_{j}
a_{k j}^{\prime \prime}=\sum_{i=1}^{3} a_{k i}^{\prime} a_{i j}

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