Dado T: R^2 R, T(x, y)=|x| é transformação linear?

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação Tcolon R^2toR definida por
T(x,y)=|x|
O conteúdo aqui é transformação linear e vamos precisar usar a definição de linearidade, que envolve aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Lembrando a definição: T é linear se, para todos os vetores u,vinR^2 e todo escalar cinR, tivermos
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(c,u)=c,T(u)

Passo 3

Testando aditividade, tome u=(1,0) e v=(-1,0). Então
T(u+v)=T( (1,0)+(-1,0) )=T(0,0)=|0|=0,
porém
T(u)+T(v)=|1|+|-1|=1+1=2
Como 0neq2, falha a condição T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 4

Alternativamente, testando homogeneidade, escolha c=-1 e u=(1,0). Temos
T(c,u)=T((-1)cdot(1,0))=T(-1,0)=|-1|=1,
enquanto
c,T(u)=(-1)cdot|1|=-1
Como 1neq-1, falha também T(c,u)=c,T(u).

Resposta

Não, T não é transformação linear.

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