Determine se as aplicações seguintes são ou não lineares.
T: N(2,2) R^4
[ll a & b c & d ] (a, b, c, d)

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
Tcolon N(2,2)toR^4, Tl(a & b c & dr) = (a,b,c,d),
onde N(2,2) é o espaço de todas as matrizes 2times2.
O conteúdo é transformação linear e, para isso, vamos precisar verificar duas propriedades:
  1. Aditividade: T(M1+M2)=T(M1)+T(M2).
  2. Homogeneidade: T(lambda M)=lambda,T(M).

Passo 2

Verificação da aditividade.
Sejam
M1=a & b c & d, M2=a' & b' c' & d'
Então
M1+M2 =a+a' & b+b' c+c' & d+d'
e aplicando T obtemos
T(M1+M2) =(,a+a',,b+b',,c+c',,d+d',)
Por outro lado,
T(M1)+T(M2) =(a,b,c,d)+(a',b',c',d') =(,a+a',,b+b',,c+c',,d+d',),
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T(M1+M2)=T(M1)+T(M2)

Passo 3

Verificação da homogeneidade.
Seja lambdainR e
M=a & b c & d
Então
lambda M =lambda a & lambda b lambda c & lambda d,
e
T(lambda M) =(lambda a,lambda b,lambda c,lambda d) =lambda,(a,b,c,d) =lambda,T(M)

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que é uma transformação linear.

Resposta

A aplicação T é linear.

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