Verificar se a transformação T: R^2 R^2, T(x, y)=(x^2, 3 y), é linear.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação
T: R^2 to R^2 definida por
T(x,y) = (x^2,;3y)
O conteúdo aqui é transformação linear, e para decidir se T é linear precisamos usar sua definição (superposição e homogeneidade).

Passo 2

Uma transformação T é linear se, para quaisquer vetores (x1,y1),(x2,y2)inR^2 e todo escalar alpha, valem
Tl((x1,y1)+(x2,y2)r) =T(x1,y1)+T(x2,y2) (aditividade)
e
Tl(alpha,(x,y)r) =alpha,T(x,y) (homo>=neidade)

Passo 3

Vamos testar a aditividade. Seja (x1,y1) e (x2,y2) quaisquer. Então
Tl((x1+x2,;y1+y2)r) =l((x1+x2)^2,;3(y1+y2)r) =(x1^2+2x1x2+x2^2,;3y1+3y2),
por outro lado
T(x1,y1)+T(x2,y2) =(x1^2,3y1)+(x2^2,3y2) =(x1^2+x2^2,;3y1+3y2)
Como aparece o termo extra 2x1x2 no primeiro componente, as duas expressões não coincidem para todos x1,x2. Logo, a aditividade falha.

Resposta

A transformação T não é linear.

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