Se A representa um vetor unitário que aponta para o leste, B representa um vetor de módulo 3 que aponta para o norte, e A+B=2 C-D e 2 A-B=C+2 D, determine C e seu módulo.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos vetores no plano cartesiano – A + B ;=; 2,C - D, 2,A - B ;=; C + 2,D é unitário para o leste, tem módulo 3 para o norte – e duas relações vetoriais:
Conteúdo: álgebra vetorial em componentes e solução de sistema linear.
O que vamos precisar:
  1. Escrever e em coordenadas (componentes x e y).
  2. Traduzir as duas equações em sistemas de equações para as componentes de e .
  3. Resolver o sistema e calcular o módulo de .

Passo 2

Escolhendo eixos: eixo A = (1,0), B = (0,3) aponta para leste, eixo aponta para norte.
Logo,

Passo 3

Escrevendo cada equação em componentes:
  1. 2,C - D = (1,3) . A primeira equação fica
C + 2,D = (2,-3)
  1. . A segunda vira

Passo 4

Vamos isolar 2,C - D = (1,3) Longrightarrow D = 2,C - (1,3) na primeira equação:
C + 2l(2,C - (1,3)r) = (2,-3) ;Longrightarrow; C + 4,C - (2,6) = (2,-3) ;Longrightarrow; 5,C = (2,-3) + (2,6) = (4,3)
Substituindo em C = l(tfrac45,,tfrac35r) :
Portanto

Passo 5

Agora o módulo de llvertCrrvert = raizl(tfrac45r)^2 + l(tfrac35r)^2 = raiztfrac1625 + tfrac925 = raiz1 = 1 :

Resposta

boxedC = l(tfrac45,,tfrac35r), llvertCrrvert = 1

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