Fatore as matrizes abaixo como , onde é não-singular e é diagonal.
Passo 1
No exercício, temos a matriz A=2 & 2 & 1 0 & 1 & 2 0 & 0 & -1. O objetivo é escrever A = XLambda X^-1, onde Lambda é diagonal contendo os autovalores e X contém os autovetores. Vamos usar teoria de autovalores e autovetores para diagonalizar a matriz.
Passo 2
Como A é triangular superior, seus autovalores são as entradas da diagonal. Logo, lambda1 = 2, lambda2 = 1 e lambda3 = -1. Cada autovalor tem multiplicidade algébrica 1 e, portanto, esperamos três autovetores independentes.
Passo 3
Para lambda = 2, resolvemos (A - 2I)v = 0. Temos:
A - 2I = 0 & 2 & 1 0 & -1 & 2 0 & 0 & -3
Das equações vem 2y + z = 0 e -y + 2z = 0, que forçam y = 0 e z=0, com x livre. Um autovetor é v1 = (1,0,0)^T.
Passo 4
Para lambda = 1, resolvemos (A - I)v = 0. Temos:
A - I = 1 & 2 & 1 0 & 0 & 2 0 & 0 & -2
As equações dão z=0 e x + 2y = 0. Tomando y=1, obtemos x=-2. Um autovetor é v2 = (-2,1,0)^T.
Passo 5
Para lambda = -1, resolvemos (A + I)v = 0. Temos:
A + I = 3 & 2 & 1 0 & 2 & 2 0 & 0 & 0
As equações levam a y = -3x e z = 3x. Tomando x=1, um autovetor é v3=(1,-3,3)^T.
Passo 6
Agora formamos X com os autovetores como colunas e Lambda com os autovalores na diagonal. Como os autovetores são independentes, X é invertível e obtemos a diagonalização.