Fatore as matrizes abaixo como A=X Lambda X^-1, onde X é não-singular e Lambda é diagonal.
rrr2 & 2 & 1 0 & 1 & 2 0 & 0 & -1

Passo 1

No exercício, temos a matriz A=2 & 2 & 1 0 & 1 & 2 0 & 0 & -1. O objetivo é escrever A = XLambda X^-1, onde Lambda é diagonal contendo os autovalores e X contém os autovetores. Vamos usar teoria de autovalores e autovetores para diagonalizar a matriz.

Passo 2

Como A é triangular superior, seus autovalores são as entradas da diagonal. Logo, lambda1 = 2, lambda2 = 1 e lambda3 = -1. Cada autovalor tem multiplicidade algébrica 1 e, portanto, esperamos três autovetores independentes.

Passo 3

Para lambda = 2, resolvemos (A - 2I)v = 0. Temos:
A - 2I = 0 & 2 & 1 0 & -1 & 2 0 & 0 & -3
Das equações vem 2y + z = 0 e -y + 2z = 0, que forçam y = 0 e z=0, com x livre. Um autovetor é v1 = (1,0,0)^T.

Passo 4

Para lambda = 1, resolvemos (A - I)v = 0. Temos:
A - I = 1 & 2 & 1 0 & 0 & 2 0 & 0 & -2
As equações dão z=0 e x + 2y = 0. Tomando y=1, obtemos x=-2. Um autovetor é v2 = (-2,1,0)^T.

Passo 5

Para lambda = -1, resolvemos (A + I)v = 0. Temos:
A + I = 3 & 2 & 1 0 & 2 & 2 0 & 0 & 0
As equações levam a y = -3x e z = 3x. Tomando x=1, um autovetor é v3=(1,-3,3)^T.

Passo 6

Agora formamos X com os autovetores como colunas e Lambda com os autovalores na diagonal. Como os autovetores são independentes, X é invertível e obtemos a diagonalização.

Resposta

X =
1 & -2 & 1 0 & 1 & -3 0 & 0 & 3
\Lambda =
2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1

Exercícios relacionados