É dado um triângulo A B C e os pontos X, Y e Z tais que A X=m X B, B Y=n Y C e C Z=p Z A. Exprima C X, A Y e B Z em função de C A e C B (e m, n e p ).

Passo 1

O enunciado trata de um triângulo ABC e dos pontos Xin AB, Yin BC e Zin CA que dividem cada lado em razão dada por
AX = m,XB, BY = n,YC, CZ = p,ZA
Queremos expressar
CX, AY e BZ em função de CA, CB e dos escalares m,n,p. Para isso usaremos as coordenadas baricêntricas na forma vetorial de ponto que divide um segmento em razão.

Passo 2

Ponto X em AB com
AX=m,XB
significa que
X ;=; 1cdot A + mcdot B1+m ;=; A + mm+1,(B-A)
Escrevendo A=C+CA e B=C+CB, temos
X = C + 1m+1,CA + mm+1,CB
Logo
CX =1m+1,CA +mm+1,CB

Passo 3

Ponto Y em BC com
BY=n,YC
implica
Y ;=; 1cdot B + ncdot C1+n ;=; B + nn+1,(C-B)
Como B=C+CB, isto dá
Y = C + 1n+1,CB
Então
AY = Y - A = l(C + tfrac1n+1CBr) -l(C+CAr) = -CA + 1n+1,CB

Passo 4

Ponto Z em CA com
CZ=p,ZA
implica
Z ;=; 1cdot C + pcdot A1+p ;=; C + pp+1,(A-C)
Como A=C+CA, obtemos
Z = C + pp+1,CA
Logo
BZ = Z - B = l(C + tfracpp+1CAr) -l(C+CBr) = pp+1,CA - CB

Resposta

CX =1m+1,CA +mm+1,CB,
AY =-CA +1n+1,CB,
BZ =pp+1,CA -CB

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