No espaço vetorial real V dos polinômios de grau menor ou igual a três: P3(I R)=p(t)=alpha t^3+beta t^2+gamma t+theta com alpha, beta, gamma, theta in I R, escreva (se possível) o vetor p(t)=a t^3+b t^2+c t+d como combinação linear dos vetores:
t^3, 3 t^2-t, 2 t^2+5,7.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o polinômio
p(t)=a,t^3+b,t^2+c,t+d
como combinação linear dos vetores
,t^3,;3t^2-t,;2t^2+5,;7
no espaço P3(R). Vamos usar o método de equacionar coeficientes em relação à base canônica t^3,t^2,t,1.

Passo 2

Suponha que existam escalares lambda1,lambda2,lambda3,lambda4inR tais que
p(t) =lambda1,t^3 +lambda2,(3t^2-t) +lambda3,(2t^2+5) +lambda4,7
Expandindo o lado direito em potências de t, obtemos
lambda1,t^3 +(3lambda2+2lambda3),t^2 +(-lambda2),t +(5lambda3+7lambda4)

Passo 3

Igualamos coeficientes de t^3,t^2,t e termo constante em
a,t^3+b,t^2+c,t+d = lambda1,t^3 +(3lambda2+2lambda3),t^2 +(-lambda2),t +(5lambda3+7lambda4),
o que gera o sistema
lambda1=a, 3lambda2+2lambda3=b, -lambda2=c, 5lambda3+7lambda4=d

Passo 4

Da terceira equação vem
lambda2=-c
Substituindo em 3lambda2+2lambda3=b
3(-c)+2lambda3=b Longrightarrow 2lambda3=b+3c Longrightarrow lambda3=b+3c2
Por fim, em 5lambda3+7lambda4=d substituímos lambda3 para achar lambda4:
5cdotb+3c2+7lambda4=d Longrightarrow 7lambda4=d-5(b+3c)2 Longrightarrow lambda4=2d-5b-15c14

Resposta

p(t) =,underbracealambda1,t^3 +underbrace(-c)lambda2,(3t^2-t) +underbraceb+3c2lambda3,(2t^2+5) +underbrace2d-5b-15c14lambda4,(7)

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