Determinar os pontos da curva y=\frac{1}{1+x^{2}} em que a reta tangente a ela tem coeficiente angular máximo.

Passo 1

O enunciado pede os pontos da curva
y = \frac{1}{1+x^{2}}
onde a reta tangente tem coeficiente angular máximo.
Conteúdo: vamos usar derivadas para obter f'(x) e depois fazer otimização de f'(x) em relação a x.

Passo 2

Definindo f(x)=\bigl(1+x^{2}\bigr)^{-1}, aplicamos a regra do quociente (ou a regra da cadeia) para obter
f'(x) = -1\cdot\bigl(1+x^{2}\bigr)^{-2}\cdot 2x = \frac{-2x}{(1+x^{2})^{2}}.

Passo 3

Chamemos g(x)=f'(x)= -2x/(1+x^{2})^{2} e busquemos seus extremos resolvendo g'(x)=0. Calculando g'(x) por derivação de quociente:
g'(x) = \frac{-2\,(1+x^{2})^{2} - (-2x)\,2(1+x^{2})\cdot2x}{(1+x^{2})^{4}} = \frac{(1+x^{2})\bigl(-2(1+x^{2})+8x^{2}\bigr)}{(1+x^{2})^{4}}.
Logo, o numerador anula-se se
-2(1+x^{2}) + 8x^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; 6x^{2}-2 = 0 \;\Longrightarrow\; x^{2} = \tfrac{1}{3} \;\Longrightarrow\; x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Avaliamos g(x) em x=\pm1/\sqrt{3}:
g\!\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) = \frac{-2/( \sqrt{3})}{\bigl(1+\tfrac{1}{3}\bigr)^{2}} = -\frac{3\sqrt{3}}{8}, \quad g\!\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) = +\frac{3\sqrt{3}}{8}.
Como g(x)\to0 quando \lvert x\rvert\to\infty e g(0)=0, o valor máximo de g é
\max g(x) = g\!\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) = \frac{3\sqrt{3}}{8}.

Passo 5

O ponto correspondente em que a reta tangente atinge esse coeficiente angular máximo é
x = -\frac{1}{\sqrt{3}}, \quad y = \frac{1}{1+(\!-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\!)^{2}} = \frac{1}{1+\tfrac{1}{3}} = \frac{3}{4}.

Resposta

\displaystyle \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\,\tfrac{3}{4}\bigr)

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