1. Dado um triângulo retângulo contendo um ângulo \propto, com cateto oposto a este ângulo sendo c=5 c m e sen \propto=0,7771.
Determine:
a) O valor do \cos \alpha
b) O valor da \tan \alpha

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Há um triângulo retângulo com um ângulo \alpha.
  • O cateto oposto a \alpha vale c=5\\ \text{cm}.
  • \sin\alpha = 0,7771.
O que o problema pede:
a) Determinar \cos\alpha.
b) Determinar \tan\alpha.

Passo 2

Relembrando (de forma bem clara e prática) as definições no triângulo retângulo:
  • \sin\alpha = \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}.
  • \cos\alpha = \dfrac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}.
  • \tan\alpha = \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.
Uma identidade fundamental que usaremos (vem do Teorema de Pitágoras) é:
\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.
Isso significa que, conhecendo \sin\alpha, podemos obter \cos\alpha por
\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha},
escolhendo o sinal positivo porque, num triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo agudo é positivo.

Passo 3

Calcular \sin^2\alpha. Vamos elevar 0,7771 ao quadrado de forma explícita:
0,7771^2 = 0,60388441.
(Obs.: isso pode ser feito multiplicando 7771\times7771=60\,388\,441 e posicionando a vírgula com 8 casas decimais.)

Passo 4

Usar a identidade para obter \cos\alpha:
\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-0,60388441}=\sqrt{0,39611559}.
Agora calculamos a raiz quadrada de 0,39611559. Uma estimativa inicial é 0,63; refinando (por exemplo via um passo de Newton ou multiplicações sucessivas) obtemos
\cos\alpha\approx 0,629378.
Vou arredondar de maneira prática mantendo boa precisão mais abaixo.

Passo 5

Com \cos\alpha em mãos, calculamos \tan\alpha pela razão
\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{0,7771}{0,629378}\approx 1,23475.

Passo 6

(Verificação alternativa — método com comprimentos)
Para checar: a hipótese é \sin\alpha=\dfrac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}}. Como o oposto é 5\\ \text{cm}, a hipotenusa vale
\text{hipotenusa}=\frac{5}{0,7771}\approx 6,4340\\ \text{cm}.
O cateto adjacente segue do Teorema de Pitágoras:
\text{adjacente}=\sqrt{6,4340^2-5^2}\approx 4,0500\\ \text{cm}.
Então \cos\alpha=\dfrac{4,0500}{6,4340}\approx 0,62938 e \tan\alpha=\dfrac{5}{4,0500}\approx 1,23475, que coincidem com os valores calculados antes (boa checagem).

Resposta

a) \cos\alpha \approx 0,62938
b) \tan\alpha \approx 1,23475

Exercícios relacionados