Deternine o ponto de interseção das seguintes retas:
r:c y=-3 x+3 z=3 x-2 e s: c x=-t y=1+2 t z=-2 t

Passo 1

O enunciado pede o ponto de interseção de duas retas em R^3. O conteúdo é resolver um sistema paramétrico igualando as coordenadas. Vamos parametrizar cada reta por um parâmetro e depois igualar as coordenadas para achar os valores dos parâmetros onde as retas se cruzam.

Passo 2

Parametrizamos a reta r atribuindo à coordenada x o parâmetro lambda. Assim,
x=lambda, y=-3lambda+3, z=3lambda-2
Já a reta s está parametrizada por t como
x=-t, y=1+2t, z=-2t

Passo 3

Para que haja interseção, deve existir lambda e t tais que as coordenadas coincidam. Isso gera o sistema
lambda = -t, -3lambda + 3 = 1 + 2t, 3lambda - 2 = -2t

Passo 4

Da primeira equação vem
t = -lambda
Substituindo na segunda:
-3lambda + 3 = 1 + 2(-lambda) implies -3lambda + 3 = 1 - 2lambda implies -lambda = -2 implies lambda = 2
Logo t = -2. Verificando na terceira:
3cdot 2 - 2 = 4 e -2(-2) = 4,
confirma-se que a terceira equação também é satisfeita.

Passo 5

O ponto de interseção é obtido substituindo lambda=2 em r:
x = 2, y = -3cdot 2 + 3 = -3, z = 3cdot 2 - 2 = 4

Resposta

(2,-3,4)

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