Dado o triângulo de vértices a (0, 1, -1) b(-2, 0, 1) e c (1, -2, 0) calcular a medida da altura relativa do lado bc

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria no espaço! A gente tem um triângulo com os vértices nos pontos $ A(0, 1, -1) $, $ B(-2, 0, 1) $ e $ C(1, -2, 0) $. O que a gente precisa encontrar é a altura do triângulo em relação ao lado $ BC $. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e cálculo de distância entre ponto e reta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que é a altura relativa ao lado $ BC $. A altura é a distância mais curta entre o ponto $ A $ e a linha formada pelos pontos $ B $ e $ C $. Em termos vetoriais, essa distância pode ser calculada usando o produto vetorial.

Passo 3

Vamos calcular o vetor $ \vec{BC} $. Para isso, subtraímos as coordenadas de $ B $ das coordenadas de $ C $:
BC

Passo 4

Agora, vamos calcular o vetor $ \vec{BA} $, que é a diferença entre $ A $ e $ B $:
BA

Passo 5

Para encontrar a distância, precisamos do produto vetorial entre $ \vec{BC} $ e $ \vec{BA} $. O produto vetorial $ \vec{BC} \times \vec{BA} $ é dado por:
BC
Calculando o determinante:
BA
BC times BA
BC times BA = i & j & k 3 & -2 & -1 2 & 1 & -2

Passo 6

Agora, vamos calcular a magnitude desse produto vetorial:
| BC times BA | = raiz5^2 + 4^2 + 7^2 = raiz25 + 16 + 49 = raiz90 = 3raiz10

Passo 7

Também precisamos da magnitude do vetor $ \vec{BC} $:
BC

Passo 8

Finalmente, a altura $ h $ relativa ao lado $ BC $ é dada pela fórmula:
h

Resposta

A medida da altura relativa ao lado $ BC $ é $ \frac{3\sqrt{35}}{7} $ unidades.

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