Dado o triângulo de vértices a (0, 1, -1) b(-2, 0, 1) e c (1, -2, 0) calcular a medida da altura relativa do lado bc
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria no espaço! A gente tem um triângulo com os vértices nos pontos $ A(0, 1, -1) $, $ B(-2, 0, 1) $ e $ C(1, -2, 0) $. O que a gente precisa encontrar é a altura do triângulo em relação ao lado $ BC $. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e cálculo de distância entre ponto e reta no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que é a altura relativa ao lado $ BC $. A altura é a distância mais curta entre o ponto $ A $ e a linha formada pelos pontos $ B $ e $ C $. Em termos vetoriais, essa distância pode ser calculada usando o produto vetorial.
Passo 3
Vamos calcular o vetor $ \vec{BC} $. Para isso, subtraímos as coordenadas de $ B $ das coordenadas de $ C $:
Passo 4
Agora, vamos calcular o vetor $ \vec{BA} $, que é a diferença entre $ A $ e $ B $:
Passo 5
Para encontrar a distância, precisamos do produto vetorial entre $ \vec{BC} $ e $ \vec{BA} $. O produto vetorial $ \vec{BC} \times \vec{BA} $ é dado por:
Calculando o determinante:
Passo 6
Agora, vamos calcular a magnitude desse produto vetorial:
Passo 7
Também precisamos da magnitude do vetor $ \vec{BC} $:
Passo 8
Finalmente, a altura $ h $ relativa ao lado $ BC $ é dada pela fórmula:
Resposta
A medida da altura relativa ao lado $ BC $ é $ \frac{3\sqrt{35}}{7} $ unidades.