Suponha que det(A)=-3, det(B)=5 e det(C)=-1 em que A, B e C são matrizes quadradas de mesmo tamanho. Calcule det(A^3 B^-2 C^t B^3 A^-2) edet(B^t A^-1 B^-1 C A^3(C^-1)^t).

Passo 1

O enunciado dá três matrizes quadradas A, B e C todas do mesmo tamanho, com
det(A)=-3, det(B)=5 e det(C)=-1.
Para resolver, vamos usar as propriedades:
  1. det(MN)=det(M),det(N).
  2. det(M^-1)=(det(M))^-1.
  3. det(M^k)=(det(M))^k.
  4. det(M^ t)=det(M).

Passo 2

Queremos
detl(A^3B^-2C^ tB^3A^-2r) =det(A^3);det(B^-2);det(C^ t);det(B^3);det(A^-2)
Agora substituímos:
det(A^3)=(-3)^3=-27,
det(B^-2)=5^-2=tfrac125,
det(C^ t)=det(C)=-1,
det(B^3)=5^3=125,
det(A^-2)=(-3)^-2=tfrac19.
Multiplicando:
-27;cdottfrac125;cdot(-1);cdot125;cdottfrac19 =-2725cdot(-1)cdot125cdot19 =2725cdot125cdot19 =27cdot59 =15

Passo 3

Agora calculamos
detl(B^ tA^-1B^-1C,A^3(C^-1)^ tr) =det(B^ t),det(A^-1),det(B^-1),det(C),det(A^3),det((C^-1)^ t)
Substituindo:
det(B^ t)=det(B)=5,
det(A^-1)=(-3)^-1=-tfrac13,
det(B^-1)=5^-1=tfrac15,
det(C)=-1,
det(A^3)=(-3)^3=-27,
det((C^-1)^ t)=det(C^-1)=(det(C))^-1=(-1)^-1=-1.
Multiplicando:
5cdotl(-tfrac13r)cdottfrac15cdot(-1)cdot(-27)cdot(-1) = l(5cdottfrac15r)cdotl(-tfrac13cdot -1r)cdot(-27)cdot(-1) =1cdottfrac13cdot(-27)cdot(-1) =-9cdot(-1) =9

Resposta

detl(A^3B^-2C^ tB^3A^-2r)=15
detl(B^ tA^-1B^-1C,A^3(C^-1)^ tr)=9

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