Dado o triângulo de vértices
e
, determine os possíveis valores de
para que este triângulo seja retângulo, e determine os cossenos diretores do vetor com origem em A e extremidade em C.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um triângulo com os vértices
,
e
. A gente precisa descobrir quais valores de
fazem esse triângulo ser retângulo. Além disso, vamos calcular os cossenos diretores do vetor que vai de
até
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, como distância entre pontos e propriedades dos triângulos retângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quando um triângulo é retângulo. Um triângulo é retângulo se um dos seus ângulos internos for de
. Na geometria analítica, isso acontece quando o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, seguindo o Teorema de Pitágoras. Então, vamos calcular as distâncias entre os pontos
,
e
.
Passo 3
Para calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional, usamos a fórmula:
Mas como vamos trabalhar com os quadrados das distâncias, podemos simplificar usando:
Passo 4
Vamos calcular
,
e
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, para o triângulo ser retângulo, uma das seguintes igualdades deve ser verdadeira:
Vamos verificar cada caso:
Caso 1:
Simplificando:
Caso 2:
Isso não é possível, já que quadrados são sempre não negativos.
Caso 3:
Resposta
Os possíveis valores de
para que o triângulo seja retângulo são
e
. Além disso, os cossenos diretores do vetor
são: