Dado o triângulo de vértices A(-3,-2,1), B(5,1, m) e C(4,3,2), determine os possíveis valores de m para que este triângulo seja retângulo, e determine os cossenos diretores do vetor com origem em A e extremidade em C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um triângulo com os vértices A(-3,-2,1), B(5,1,m) e C(4,3,2). A gente precisa descobrir quais valores de m fazem esse triângulo ser retângulo. Além disso, vamos calcular os cossenos diretores do vetor que vai de A até C. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, como distância entre pontos e propriedades dos triângulos retângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quando um triângulo é retângulo. Um triângulo é retângulo se um dos seus ângulos internos for de 90^circ. Na geometria analítica, isso acontece quando o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, seguindo o Teorema de Pitágoras. Então, vamos calcular as distâncias entre os pontos A, B e C.

Passo 3

Para calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional, usamos a fórmula:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2
Mas como vamos trabalhar com os quadrados das distâncias, podemos simplificar usando:
d^2 = (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2

Passo 4

Vamos calcular AB^2, AC^2 e BC^2:
Para AB^2:
AB^2 = (5 - (-3))^2 + (1 - (-2))^2 + (m - 1)^2 = (8)^2 + (3)^2 + (m - 1)^2 = 64 + 9 + (m - 1)^2 = 73 + (m - 1)^2
Para AC^2:
AC^2 = (4 - (-3))^2 + (3 - (-2))^2 + (2 - 1)^2 = (7)^2 + (5)^2 + (1)^2 = 49 + 25 + 1 = 75
Para BC^2:
BC^2 = (4 - 5)^2 + (3 - 1)^2 + (2 - m)^2 = (-1)^2 + (2)^2 + (2 - m)^2 = 1 + 4 + (2 - m)^2 = 5 + (2 - m)^2

Passo 5

Agora, para o triângulo ser retângulo, uma das seguintes igualdades deve ser verdadeira:
  1. AB^2 = AC^2 + BC^2
  2. AC^2 = AB^2 + BC^2
  3. BC^2 = AB^2 + AC^2
Vamos verificar cada caso:
Caso 1:
73 + (m - 1)^2 = 75 + 5 + (2 - m)^2
Simplificando:
73 + (m - 1)^2 = 80 + (2 - m)^2
(m - 1)^2 - (2 - m)^2 = 80 - 73
(m^2 - 2m + 1) - (4 - 4m + m^2) = 7
-2m + 1 - 4 + 4m = 7
2m - 3 = 7
2m = 10
m = 5
Caso 2:
75 = 73 + (m - 1)^2 + 5 + (2 - m)^2
75 = 78 + (m - 1)^2 + (2 - m)^2
(m - 1)^2 + (2 - m)^2 = -3
Isso não é possível, já que quadrados são sempre não negativos.
Caso 3:
5 + (2 - m)^2 = 73 + (m - 1)^2 + 75
5 + (2 - m)^2 = 148 + (m - 1)^2
(2 - m)^2 - (m - 1)^2 = 148 - 5
(4 - 4m + m^2) - (m^2 - 2m + 1) = 143
4 - 4m + m^2 - m^2 + 2m - 1 = 143
-2m + 3 = 143
-2m = 140
m = -70

Resposta

Os possíveis valores de m para que o triângulo seja retângulo são m = 5 e m = -70. Além disso, os cossenos diretores do vetor AC são:
cosalpha = 7raiz75, cosbeta = 5raiz75, cosgamma = 1raiz75

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