Determine um ponto P do eixo das abscissas cuja distância ao ponto A(2,-3,2) é igual à distância ao ponto B(-2,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede um ponto P no eixo das abscissas cuja distância ao ponto A(2,-3,2) seja igual à distância ao ponto B(-2,1,-1). Vamos usar a fórmula da distância em R^3: para quaisquer pontos X(x1,y1,z1) e Y(x2,y2,z2) vale
d(X,Y)=raiz(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2

Passo 2

Como P está no eixo x, escrevemos P=(x,0,0).
A distância de P a A é
PA = raiz(x-2)^2 + (0-(-3))^2 + (0-2)^2
e a distância de P a B é
PB = raiz(x-(-2))^2 + (0-1)^2 + (0-(-1))^2
Para evitar lidar com raízes, vamos igualar os quadrados dessas distâncias:
PA^2 = PB^2

Passo 3

Igualando PA^2 e PB^2:
(x-2)^2 + (0+3)^2 + (0-2)^2 = (x+2)^2 + (0-1)^2 + (0+1)^2
Expandindo cada termo:
(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4, (0+3)^2 = 9, (0-2)^2 = 4,
(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4, (0-1)^2 = 1, (0+1)^2 = 1
Logo a equação fica
x^2 - 4x + 4 + 9 + 4 = x^2 + 4x + 4 + 1 + 1

Passo 4

Simplificando a igualdade:
x^2 - 4x + 17 = x^2 + 4x + 6
Cancelando x^2 e reorganizando termos:
-4x + 17 = 4x + 6
17 - 6 = 8x
8x = 11
x = 118

Passo 5

Portanto, o ponto P no eixo das abscissas que satisfaz a condição é
Pl(118,0,0r)

Resposta

Pl(tfrac118,0,0r)

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