Seja V=R^3. W=(x, y, z) in R^3 / x=1. Verifique se W é subespaço vetorial de V. (R: não)

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = R^3 e o conjunto
W = (x,y,z)inR^3 mid x = 1
A tarefa é verificar se W é um subespaço vetorial de V. Para isso precisamos lembrar os critérios de subespaço.

Passo 2

Um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se satisfaz três condições:
  1. W não é vazio e contém o vetor zero de V.
  2. W é fechado sob adição: se u,vin W então u+vin W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se vin W e lambdainR então lambda vin W.

Passo 3

Verificamos se o vetor zero ,(0,0,0)in W. Como em W todo vetor tem coordenada x=1, o vetor (0,0,0) não satisfaz x=1. Logo
(0,0,0)notin W

Passo 4

Como W não contém o vetor zero, uma das condições básicas de subespaço falha imediatamente. (Para reforçar, notamos também que, se v=(1,y,z)in W e lambdaneq1, então
lambda v=(lambda,lambda y,lambda z)
tem lambdaneq1, logo lambda vnotin W, falhando a condição de fechamento escalar.)

Resposta

W não é subespaço vetorial de V.

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