Expresse o vetor v=(1,-2,5) sobre R como combinação linear de u1=(1,-3,2), u2=(2,-4,-1) e u3=(1,- 5,7). (R: v não é combinação linear de u1, u2 e u3 ).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o vetor ,v=(1,-2,5) e os vetores ,u1=(1,-3,2), ,u2=(2,-4,-1), ,u3=(1,-5,7), e queremos verificar se existem escalares ,a,b,c tais que
a,u1+b,u2+c,u3=v
O conteúdo aqui é teste de combinação linear em R^3.

Passo 2

Escrevendo a igualdade coordenada a coordenada, obtemos o sistema
a + 2b + c = 1, -3a -4b -5c = -2, 2a - b +7c = 5

Passo 3

Da primeira equação segue
a = 1 - 2b - c
Substituindo na segunda:
-3(1 - 2b - c) - 4b - 5c = -2
-3 + 6b + 3c -4b -5c = -2
2b - 2c = 1
b - c = tfrac12
Substituindo a na terceira equação:
2(1 - 2b - c) - b + 7c = 5
2 - 4b - 2c - b + 7c = 5
-5b + 5c = 3
c - b = tfrac35
b - c = -tfrac35
Como ,b - c não pode ser simultaneamente tfrac12 e -tfrac35, o sistema é incompatível.

Resposta

Não existem escalares a,b,c tais que v seja combinação linear de u1,u2,u3; logo, v não é combinação linear desses vetores.

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