Sejam V=M2x2(R), B=v1=(ll1 & 0 0 & 0), v2=(ll0 & 1 0 & 0), v3=(ll0 & 0 2 & 0), v4=(ll0 & 0 1 & 2)
a) v=(cc1 & -1 2 & 0) in [v1, v2, v2, v4?

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=M2times2(R) e a família
B=v1,v2,v3,v4
com
v1=1&00&0, v2=0&10&0, v3=0&02&0, v4=0&01&2
Queremos saber se
v=1&-12&0
está em spanv1,v2,v3,v4, isto é, se existe combinação linear que produza v.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c,dinR tais que
a,v1+b,v2+c,v3+d,v4 =a&b2c+d&2d ;=; 1&-12&0
Isso gera o sistema de equações obtido igualando entradas correspondentes:
a = 1, b = -1, 2c + d = 2, 2d = 0

Passo 3

Da quarta equação vem
2d=0Longrightarrow d=0
Substituindo em 2c+d=2 obtemos
2c+0=2Longrightarrow c=1
E já tínhamos a=1 e b=-1.

Passo 4

Encontramos os coeficientes
a=1, b=-1, c=1, d=0
que satisfazem a combinação linear. Logo
v =1,v1 + (-1),v2 +1,v3 +0,v4
e portanto v pertence ao espaço gerado por v1,v2,v3,v4.

Resposta

Sim, vinspanv1,v2,v3,v4, com combinação linear
v=1,v1-1,v2+1,v3+0,v4

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