Sejam
e
.
a) Prove que
é uma base de
.
a) Prove que
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
e o conjunto de três vetores
Queremos mostrar que
é uma base de
. Para isso precisamos verificar que
é linearmente independente (LI) e que gera todo
.
Passo 2
Lembrando a definição:
- Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial.
- Em
, qualquer conjunto de três vetores LI já é base, pois o espaço tem dimensão 3 (teorema da dimensão).
Passo 3
Vamos provar que
são LI. Suponha que existam escalares
tais que
Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
Passo 4
Resolvendo o sistema:
- Da segunda equação segue
.;c2 = -,c3 - Substituindo em
(terceira equação) dá3c1 + c2 = 0 3c1 - c3 = 0 Longrightarrow c3 = 3c1 - Então
. Agora a primeira equação ficac2 = -3c1 c1 - (-3c1) + 2,(3c1) = 10,c1 = 0 Longrightarrow c1 = 0
Logo
c1=c2=c3=0 , mostrando que a combinação trivial é a única. Portanto
v1,v2,v3 são LI.
Passo 5
Como temos três vetores LI em
R^3 (espaço de dimensão 3), pelo teorema da dimensão eles formam uma base.