Sejam V=R^3 e M=(1,0,3),(-1,1,1),(2,1,0) subset V.
a) Prove que M é uma base de R^3.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=R^3 e o conjunto de três vetores
v1=(1,0,3), v2=(-1,1,1), v3=(2,1,0)
Queremos mostrar que M=v1,v2,v3 é uma base de R^3. Para isso precisamos verificar que M é linearmente independente (LI) e que gera todo R^3.

Passo 2

Lembrando a definição:
  1. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial.
  2. Em R^3, qualquer conjunto de três vetores LI já é base, pois o espaço tem dimensão 3 (teorema da dimensão).

Passo 3

Vamos provar que v1,v2,v3 são LI. Suponha que existam escalares c1,c2,c3 tais que
c1,v1 + c2,v2 + c3,v3 = (0,0,0)
Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
c1 - c2 + 2c3 = 0, ;0cdot c1 + c2 + c3 = 0, 3c1 + c2 + 0cdot c3 = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  1. Da segunda equação segue ;c2 = -,c3.
  2. Substituindo em 3c1 + c2 = 0 (terceira equação) dá 3c1 - c3 = 0 Longrightarrow c3 = 3c1
  3. Então c2 = -3c1. Agora a primeira equação fica c1 - (-3c1) + 2,(3c1) = 10,c1 = 0 Longrightarrow c1 = 0
Logo c1=c2=c3=0, mostrando que a combinação trivial é a única. Portanto v1,v2,v3 são LI.

Passo 5

Como temos três vetores LI em R^3 (espaço de dimensão 3), pelo teorema da dimensão eles formam uma base.

Resposta

M=(1,0,3),(-1,1,1),(2,1,0) é uma base de R^3.

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