Dado V um espaço vetorial sobre F. Prove que:
Se rv =v então ou v=0 ou r=1.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos um espaço vetorial V sobre um corpo F e um escalar r ∈ F tal que r v = v. Queremos mostrar que isso só acontece se v for o vetor zero ou se r for 1.

Passo 2

Vamos usar a propriedade de elemento neutro da multiplicação escalar: em todo espaço vetorial existe 1 ∈ F que satisfaz 1 v = v para todo v ∈ V. Então podemos escrever v como 1 v.

Passo 3

Subtraímos 1 v dos dois lados da igualdade r v = v, obtemos r v − 1 v = 0 (vetor zero).
Pela distributividade da multiplicação escalar sobre a adição em F, r v − 1 v = (r − 1) v. Logo (r − 1) v = 0.

Passo 4

Teorema auxiliar: em um espaço vetorial, se λ v = 0 então ou λ = 0 em F ou v = 0 em V. Prova rápida: se λ ≠ 0 então λ⁻¹ existe em F e v = λ⁻¹(λ v) = λ⁻¹ 0 = 0.

Passo 5

Aplicando esse fato a λ = r − 1, concluímos que ou r − 1 = 0 (isto é, r = 1) ou v = 0.

Resposta

v = 0 ou r = 1

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