Dado
um espaço vetorial sobre
. Prove que:
Se rv
então ou
ou
.
Se rv
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos um espaço vetorial V sobre um corpo F e um escalar r ∈ F tal que r v = v. Queremos mostrar que isso só acontece se v for o vetor zero ou se r for 1.
Passo 2
Vamos usar a propriedade de elemento neutro da multiplicação escalar: em todo espaço vetorial existe 1 ∈ F que satisfaz 1 v = v para todo v ∈ V. Então podemos escrever v como 1 v.
Passo 3
Subtraímos 1 v dos dois lados da igualdade r v = v, obtemos r v − 1 v = 0 (vetor zero).
Pela distributividade da multiplicação escalar sobre a adição em F, r v − 1 v = (r − 1) v. Logo (r − 1) v = 0.
Pela distributividade da multiplicação escalar sobre a adição em F, r v − 1 v = (r − 1) v. Logo (r − 1) v = 0.
Passo 4
Teorema auxiliar: em um espaço vetorial, se λ v = 0 então ou λ = 0 em F ou v = 0 em V. Prova rápida: se λ ≠ 0 então λ⁻¹ existe em F e v = λ⁻¹(λ v) = λ⁻¹ 0 = 0.
Passo 5
Aplicando esse fato a λ = r − 1, concluímos que ou r − 1 = 0 (isto é, r = 1) ou v = 0.
Resposta
v = 0 ou r = 1