Seja
e seja
Provar que para todo
, temos
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a matriz de rotação
elevada a qualquer potência natural
continua sendo uma rotação de ângulo
. O conteúdo envolve matrizes de rotação, indução matemática e as fórmulas de soma de ângulos em trigonometria.
Passo 2
Vamos usar prova por indução em
. Primeiro, para
temos
que coincide com
Logo, a base da indução está satisfeita.
Passo 3
Suponha agora, como hipótese de indução, que para algum
valha
Passo 4
Vamos calcular
. Usando a hipótese e multiplicando as duas matrizes, temos
Passo 5
Agora aplicamos as fórmulas de soma de ângulos:
- Entrada
:
- Entrada
:
- Entrada
:
- Entrada
:
Passo 6
Como cada entrada coincide com a matriz de rotação de ângulo
, concluímos que
Pelo princípio da indução, a fórmula vale para todo
.
Resposta
Para todo
,