Seja theta in R e seja
A=(cc cos theta & -sen theta sen theta & cos theta )
Provar que para todo n in N, temos
A^n=(cc cos n theta & -sen n theta sen n theta & cos n theta )

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz de rotação
A=costheta & -sentheta sentheta & costheta
elevada a qualquer potência natural n continua sendo uma rotação de ângulo ntheta. O conteúdo envolve matrizes de rotação, indução matemática e as fórmulas de soma de ângulos em trigonometria.

Passo 2

Vamos usar prova por indução em n. Primeiro, para n=1 temos
A^1=A=costheta & -sentheta sentheta & costheta
que coincide com
cos(1theta) & -sen(1theta) sen(1theta) & cos(1theta)
Logo, a base da indução está satisfeita.

Passo 3

Suponha agora, como hipótese de indução, que para algum kinN valha
A^k=cos(ktheta) & -sen(ktheta) sen(ktheta) & cos(ktheta)

Passo 4

Vamos calcular A^k+1=A^k,A. Usando a hipótese e multiplicando as duas matrizes, temos
A^k+1=cos(ktheta) & -sen(ktheta) sen(ktheta) & cos(ktheta) costheta & -sentheta sentheta & costheta

Passo 5

Agora aplicamos as fórmulas de soma de ângulos:
  • Entrada (1,1):
cos(ktheta)costheta-(-sen(ktheta))sentheta=cos(ktheta)costheta+sen(ktheta)sentheta=cos((k+1)theta)
  • Entrada (1,2):
-cos(ktheta)sentheta-sen(ktheta)costheta=-l(cos(ktheta)sentheta+sen(ktheta)costhetar)=-sen((k+1)theta)
  • Entrada (2,1):
sen(ktheta)costheta+cos(ktheta)sentheta=sen((k+1)theta)
  • Entrada (2,2):
sen(ktheta)(-sentheta)+cos(ktheta)costheta=cos((k+1)theta)

Passo 6

Como cada entrada coincide com a matriz de rotação de ângulo (k+1)theta, concluímos que
A^k+1=cos((k+1)theta) & -sen((k+1)theta) sen((k+1)theta) & cos((k+1)theta)
Pelo princípio da indução, a fórmula vale para todo ninN.

Resposta

Para todo ninN,
A^n=cos(ntheta) & -sen(ntheta) sen(ntheta) & cos(ntheta)

Exercícios relacionados