Dado V um espaço vetorial sobre F. Prove que:
0 v=0 para todo v in V. Descreva os diferentes significados de 0 nessa equação.

Passo 1

Vamos resolver o seguinte problema de teoria de espaços vetoriais: mostrar que, em qualquer espaço vetorial V sobre um corpo F, temos 0,v = 0 para todo vin V. Aqui o conteúdo principal usado será a distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares e a existência de inversos aditivos em V.

Passo 2

Antes de começar a prova, vamos esclarecer os dois símbolos 0 que aparecem na igualdade:
  • O 0 que multiplica v é o elemento neutro aditivo do corpo F, que chamaremos de 0F.
  • O 0 do lado direito é o vetor nulo de V, que chamaremos de 0V.

Passo 3

Pela propriedade distributiva da multiplicação escalar sobre a soma de escalares, temos
(0F + 0F),v = 0F,v + 0F,v

Passo 4

Como 0F + 0F = 0F, a expressão acima vira
0F,v = 0F,v + 0F,v
Agora, para isolar 0F,v, somamos o inverso aditivo de 0F,v (que existe em V) aos dois lados da equação:

Passo 5

Somando - (0F,v) em ambos os lados, obtemos
0F,v + l[-(0F,v)r] = l(0F,v + 0F,vr) + l[-(0F,v)r]
Como x + (-x) = 0V para todo xin V e a soma é associativa, o lado esquerdo vira 0V e o direito simplifica para 0F,v. Assim,

Passo 6

chegamos a
0V = 0F,v
Isto mostra que o escalar zero multiplicado por qualquer vetor v produz exatamente o vetor nulo de V.

Passo 7

Portanto, concluímos que 0,v = 0 para todo vin V, onde o primeiro 0 é o escalar nulo de F e o segundo 0 é o vetor nulo de V.

Resposta

0,v = 0, onde o 0 da esquerda é o escalar nulo de F e o 0 da direita é o vetor nulo de V.

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