Dado
um espaço vetorial sobre
. Prove que:
para todo
. Descreva os diferentes significados de 0 nessa equação.
Passo 1
Vamos resolver o seguinte problema de teoria de espaços vetoriais: mostrar que, em qualquer espaço vetorial
sobre um corpo
, temos
para todo
. Aqui o conteúdo principal usado será a distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares e a existência de inversos aditivos em
.
Passo 2
Antes de começar a prova, vamos esclarecer os dois símbolos
que aparecem na igualdade:
- O
que multiplica é o elemento neutro aditivo do corpo , que chamaremos de . - O
do lado direito é o vetor nulo de , que chamaremos de .
Passo 3
Pela propriedade distributiva da multiplicação escalar sobre a soma de escalares, temos
Passo 4
Como
, a expressão acima vira
Agora, para isolar
, somamos o inverso aditivo de
(que existe em
) aos dois lados da equação:
Passo 5
Somando
em ambos os lados, obtemos
Como
para todo
e a soma é associativa, o lado esquerdo vira
e o direito simplifica para
. Assim,
Passo 6
chegamos a
Isto mostra que o escalar zero multiplicado por qualquer vetor
produz exatamente o vetor nulo de
.
Passo 7
Portanto, concluímos que
para todo
, onde o primeiro
é o escalar nulo de
e o segundo
é o vetor nulo de
.