Seja E=R3[X] o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 3. Definimos T e S duas transformações de E em E por T(P)=P^prime e S(P)=P-P^prime, onde P^prime é a derivada de P.
a. Provar que T e S são lineares.
b. Escrever as matrizes das tranformações T e S bem relação a base canonica de R3[X] ( S ).
c. Provar que T circ T circ T circ T=0 é bijetora.
d. Provar que S^-1=I d+T+T circ T+T circ T circ T.
e. Provar que .

Passo 1

Estamos no espaço E = R3[X], ou seja, polinômios de grau até 3, e temos as transformações T§=P′ e S§=P−P′. O que vamos fazer: provar linearidade de T e S; montar matrizes em relação à base canônica B={1,x,x²,x³}; mostrar que S é bijetora; mostrar que T⁴=0; e encontrar S⁻¹.

Passo 2

Para provar que T e S são lineares, lembramos que uma transformação L é linear se, para quaisquer P,Q em E e escalar c, tivermos L(P+Q)=L§+L(Q) e L(cP)=cL§. Como a derivada é linear, T(P+Q)=(P+Q)’=P’+Q’=T§+T(Q) e T(cP)=(cP)’=cP’=cT§. Para S, temos S(P+Q)=(P+Q)−(P+Q)’=P+Q−P’−Q’=S§+S(Q) e S(cP)=cP−(cP)’=cP−cP’=cS§.

Passo 3

Para achar a matriz de T em B, calculamos T nos vetores da base: T(1)=0, T(x)=1, T(x²)=2x, T(x³)=3x². Escrevendo em coordenadas na ordem (1,x,x²,x³), obtemos as colunas:
T(1) = 0000,; T(x)= 1000,; T(x²)= 0200,; T(x³)= 0030²³

Passo 4

Para S, fazemos S(1)=1, S(x)=x−1, S(x²)=x²−2x, S(x³)=x³−3x². Em coordenadas na mesma base, as colunas são:
S(1)=1000,; S(x)=-1100,; S(x²)=0-210,; S(x³)=00-31²³

Passo 5

Para mostrar que S é bijetora, basta notar que em espaços de dimensão finita injetividade implica bijetividade. O núcleo de S é {P | S§=0} = {P | P−P’=0} ⇒ P’=P. A única solução polinomial dessa equação é P=0, logo ker S={0}, S é injetora e, por fim, bijetora.

Passo 6

Para ver que T∘T∘T∘T=0, lembramos que derivar quatro vezes um polinômio de grau ≤3 dá sempre o polinômio zero. Logo, para todo P em E, (T∘T∘T∘T)§=P^{(4)}=0.

Passo 7

Para encontrar S⁻¹, usamos T⁴=0 e mostramos que S∘(Id+T+T²+T³)=Id. De fato, para qualquer P, seja Q=P+P’+P’’+P’’’. Então S(Q)=Q−Q’=(P+P’+P’’+P’’’)−(P’+P’’+P’’’+P’’’’)=P−P’’’’=P. Como P’’’’=0, isso vale para todo P, mostrando que S^{-1}=Id+T+T²+T³.

Resposta

S^-1 = Id + T + T^2 + T^3

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