Seja
o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 3. Definimos
e
duas transformações de
em
por
e
, onde
é a derivada de
.
a. Provar que
e
são lineares.
b. Escrever as matrizes das tranformações
e
bem relação a base canonica de
(
).
c. Provar que
é bijetora.
d. Provar que
.
e. Provar que
.
a. Provar que
b. Escrever as matrizes das tranformações
c. Provar que
d. Provar que
e. Provar que
Passo 1
Estamos no espaço E =
, ou seja, polinômios de grau até 3, e temos as transformações T§=P′ e S§=P−P′. O que vamos fazer: provar linearidade de T e S; montar matrizes em relação à base canônica B={1,x,x²,x³}; mostrar que S é bijetora; mostrar que T⁴=0; e encontrar S⁻¹.
Passo 2
Para provar que T e S são lineares, lembramos que uma transformação L é linear se, para quaisquer P,Q em E e escalar c, tivermos L(P+Q)=L§+L(Q) e L(cP)=cL§. Como a derivada é linear, T(P+Q)=(P+Q)’=P’+Q’=T§+T(Q) e T(cP)=(cP)’=cP’=cT§. Para S, temos S(P+Q)=(P+Q)−(P+Q)’=P+Q−P’−Q’=S§+S(Q) e S(cP)=cP−(cP)’=cP−cP’=cS§.
Passo 3
Para achar a matriz de T em B, calculamos T nos vetores da base: T(1)=0, T(x)=1, T(x²)=2x, T(x³)=3x². Escrevendo em coordenadas na ordem (1,x,x²,x³), obtemos as colunas:
Passo 4
Para S, fazemos S(1)=1, S(x)=x−1, S(x²)=x²−2x, S(x³)=x³−3x². Em coordenadas na mesma base, as colunas são:
Passo 5
Para mostrar que S é bijetora, basta notar que em espaços de dimensão finita injetividade implica bijetividade. O núcleo de S é {P | S§=0} = {P | P−P’=0} ⇒ P’=P. A única solução polinomial dessa equação é P=0, logo ker S={0}, S é injetora e, por fim, bijetora.
Passo 6
Para ver que T∘T∘T∘T=0, lembramos que derivar quatro vezes um polinômio de grau ≤3 dá sempre o polinômio zero. Logo, para todo P em E, (T∘T∘T∘T)§=P^{(4)}=0.
Passo 7
Para encontrar S⁻¹, usamos T⁴=0 e mostramos que S∘(Id+T+T²+T³)=Id. De fato, para qualquer P, seja Q=P+P’+P’’+P’’’. Então S(Q)=Q−Q’=(P+P’+P’’+P’’’)−(P’+P’’+P’’’+P’’’’)=P−P’’’’=P. Como P’’’’=0, isso vale para todo P, mostrando que S^{-1}=Id+T+T²+T³.