Seja
a transformação linear de matriz
em relação a base canonica de
a. Provar que
é bijetora.
b. Calcular
.
c. Determinar
.
b. Calcular
c. Determinar
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T: ℝ² → ℝ² cuja matriz A, na base canônica, é
O conteúdo envolve invertibilidade de transformações lineares (via determinante), cálculo de inversa de matriz 2×2 e obter a expressão de T⁻¹.
Passo 2
Para mostrar que T é bijetora, usamos o fato de que uma transformação linear em espaço vetorial de dimensão finita é invertível (e portanto bijetora) se, e só se, sua matriz possui determinante não nulo. Calculamos
Como
, T é bijetora.
Passo 3
Para achar
, usamos a fórmula da inversa de matriz 2×2: se
, então
Aqui
,
,
,
e
. Logo,
Passo 4
Como
é a transformação linear cuja matriz na base canônica é
, basta aplicar
a um vetor
. Assim,
Resposta
(a) T é bijetora pois
(b)
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