Seja T: R^2 R^2 a transformação linear de matriz A em relação a base canonica de R^2
A=(cc 1 & 1 -2 & -1 )
a. Provar que f é bijetora.
b. Calcular A^-1.
c. Determinar T^-1.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: ℝ² → ℝ² cuja matriz A, na base canônica, é
A = 1 & 1 -2 & -1
O conteúdo envolve invertibilidade de transformações lineares (via determinante), cálculo de inversa de matriz 2×2 e obter a expressão de T⁻¹.

Passo 2

Para mostrar que T é bijetora, usamos o fato de que uma transformação linear em espaço vetorial de dimensão finita é invertível (e portanto bijetora) se, e só se, sua matriz possui determinante não nulo. Calculamos
det(A) = 1 cdot (-1) - 1 cdot (-2) = -1 + 2 = 1 neq 0
Como det(A) neq 0, T é bijetora.

Passo 3

Para achar A^-1, usamos a fórmula da inversa de matriz 2×2: se A=a&b c&d, então
A^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a
Aqui a=1, b=1, c=-2, d=-1 e ad - bc = 1. Logo,
A^-1 = -1 & -1 2 & 1

Passo 4

Como T^-1 é a transformação linear cuja matriz na base canônica é A^-1, basta aplicar A^-1 a um vetor (x,y). Assim,
T^-1(x,y) = A^-1 x y = -1 & -1 2 & 1 x y = -x - y 2x + y

Resposta

(a) T é bijetora pois det(A)=1neq0 (b) A^-1=-1 & -1 2 & 1 © T^-1(x,y)=(-x-y,,2x+y)

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