Dado
mostre que a função
dada por
é um isomorfismo, ou seja mostre que quaisquer dois complementos de
em
(lembre que não necessariamente é único) são isomorfos e, mais ainda, são isomorfos ao quociente
. Mostre também que a inversa não é verdadeira, ou seja, mostre que espaços isomorfos não necessariamente admitem um complemento comum.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, quando temos uma soma direta
, a aplicação
dada por
é um isomorfismo. Isso nos leva a concluir que qualquer complemento de
em
é isomorfo a
. Depois, mostrar que a recíproca (isto é, um subespaço isomorfo a
obrigatoriamente é complemento de
) falha, dando um contraexemplo.
Passo 2
Para ver que
é linear, note que para
e
temos em linha de cosets:
Assim,
é uma aplicação linear.
Passo 3
O núcleo de
é
Como
implica
, segue
, logo
é injetora.
Passo 4
Para surjetividade, tome qualquer classe
. Como
, escrevemos
com
. Então
o que mostra que
é sobrejetora. Portanto
é bijetora e linear, isto é, um isomorfismo. Concluímos que todo complemento
de
em
satisfaz
.
Passo 5
Para ver que a recíproca falha, considere o mesmo
e
e o subespaço
. Então
(ambos de mesma dimensão), mas claramente
Logo ser isomorfo a
não garante que o subespaço seja realmente complemento de
em
.
Resposta
A aplicação
,
, é linear, injetora e sobrejetora, logo um isomorfismo. Assim, quaisquer dois complementos de
em
são isomorfos entre si e isomorfos a
. Porém a recíproca não vale: existe subespaço isomorfo a
(por exemplo
) que não satisfaz
.