Dado V=U oplus W mostre que a função T: U V / W dada por u mapsto u+W é um isomorfismo, ou seja mostre que quaisquer dois complementos de W em V (lembre que não necessariamente é único) são isomorfos e, mais ainda, são isomorfos ao quociente V / W. Mostre também que a inversa não é verdadeira, ou seja, mostre que espaços isomorfos não necessariamente admitem um complemento comum.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, quando temos uma soma direta V = U oplus W, a aplicação T: U to V/W dada por T(u)=u+W é um isomorfismo. Isso nos leva a concluir que qualquer complemento de W em V é isomorfo a V/W. Depois, mostrar que a recíproca (isto é, um subespaço isomorfo a V/W obrigatoriamente é complemento de W) falha, dando um contraexemplo.

Passo 2

Para ver que T é linear, note que para u1,u2in U e alphainK temos em linha de cosets:
T(u1+u2)= (u1+u2)+W = (u1+W)+(u2+W) = T(u1)+T(u2),
T(alpha u1)= (alpha u1)+W = alpha,(u1+W) = alpha,T(u1)
Assim, T é uma aplicação linear.

Passo 3

O núcleo de T é
ker(T)=uin U:;u+W=W = uin U:;uin W = Ucap W
Como V=Uoplus W implica Ucap W=0, segue ker(T)=0, logo T é injetora.

Passo 4

Para surjetividade, tome qualquer classe v+Win V/W. Como V=Uoplus W, escrevemos v=u+w com uin U, win W. Então
v+W = (u+w)+W = u+W = T(u),
o que mostra que T é sobrejetora. Portanto T é bijetora e linear, isto é, um isomorfismo. Concluímos que todo complemento U' de W em V satisfaz U'cong V/W.

Passo 5

Para ver que a recíproca falha, considere o mesmo V e W e o subespaço U'=W. Então U'cong V/W (ambos de mesma dimensão), mas claramente
U'oplus W = Wne V
Logo ser isomorfo a V/W não garante que o subespaço seja realmente complemento de W em V.

Resposta

A aplicação T:Uto V/W, T(u)=u+W, é linear, injetora e sobrejetora, logo um isomorfismo. Assim, quaisquer dois complementos de W em V são isomorfos entre si e isomorfos a V/W. Porém a recíproca não vale: existe subespaço isomorfo a V/W (por exemplo U'=W) que não satisfaz U'oplus W=V.

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