Mostre que se a equiv b(bmod m), a equiv b(bmod n) e (m, n)=1 então a equiv b(bmod m n)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que se a equiv b pmodm e a equiv b pmodn com gcd(m,n)=1, então a equiv b pmodmn. O conteúdo envolvido é congruências e divisibilidade, e vamos usar que uma congruência x equiv y pmodk significa kmid(x-y) e o lema de que se gcd(m,n)=1 e ambos m e n dividem um mesmo número, então mn também o divide.

Passo 2

Da congruência a equiv b pmodm segue que existe um inteiro k tal que a - b = k,m. De modo semelhante, de a equiv b pmodn vem um inteiro ell com a - b = ell,n. Portanto, temos mmid(a-b) e nmid(a-b).

Passo 3

Como gcd(m,n)=1 e tanto m quanto n dividem a-b, aplicamos o lema de Euclides que garante mnmid(a-b).

Passo 4

Da divisibilidade mnmid(a-b) concluímos a congruência desejada: a equiv b pmodmn.

Resposta

a equiv b pmodmn

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