Dado V=x^2 y^2(4 z+2), encontre:
O campo elétrico barE em (2,1, -6). (2,5 pto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o campo elétrico barE no ponto (2, 1, -6), dado o potencial elétrico V = x^2 y^2(4 z + 2). Para resolver isso, vamos usar o conceito de que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial elétrico. Ou seja, barE = -nabla V. Então, vamos precisar calcular as derivadas parciais de V em relação a x, y e z.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de V em relação a x. Lembrando que, para derivar em relação a x, tratamos y e z como constantes.
partial Vpartial x = partialpartial x ( x^2 y^2(4 z + 2) ) = 2x y^2(4 z + 2)

Passo 3

Agora, vamos derivar V em relação a y. Aqui, tratamos x e z como constantes.
partial Vpartial y = partialpartial y ( x^2 y^2(4 z + 2) ) = 2y x^2(4 z + 2)

Passo 4

Por último, vamos derivar V em relação a z. Neste caso, x e y são constantes.
partial Vpartial z = partialpartial z ( x^2 y^2(4 z + 2) ) = x^2 y^2 cdot 4 = 4 x^2 y^2

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, podemos montar o gradiente de V:
nabla V = ( partial Vpartial x, partial Vpartial y, partial Vpartial z ) = ( 2x y^2(4 z + 2), 2y x^2(4 z + 2), 4 x^2 y^2 )

Passo 6

Lembrando que o campo elétrico é o negativo do gradiente:
barE = -nabla V = ( -2x y^2(4 z + 2), -2y x^2(4 z + 2), -4 x^2 y^2 )

Passo 7

Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto (2, 1, -6) nos valores de x, y e z:
Para x = 2, y = 1, z = -6:
barE = ( -2 cdot 2 cdot 1^2 (4 cdot (-6) + 2), -2 cdot 1 cdot 2^2 (4 cdot (-6) + 2), -4 cdot 2^2 cdot 1^2 )

Passo 8

Vamos calcular parte a parte:
Primeira componente:
-2 cdot 2 cdot 1 cdot (-24 + 2) = -4 cdot (-22) = 88
Segunda componente:
-2 cdot 1 cdot 4 cdot (-24 + 2) = -8 cdot (-22) = 176
Terceira componente:
-4 cdot 4 cdot 1 = -16

Passo 9

Então, o campo elétrico no ponto (2, 1, -6) é:
barE = (88, 176, -16)

Resposta

O campo elétrico barE no ponto (2, 1, -6) é boxed(88, 176, -16).

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