Dado
uma variável aleatória tal que
. Prove que existe
tal que
Passo 1
O enunciado diz que temos uma variável aleatória X e sabemos que
. A tarefa é provar que existe algum
tal que
. O conteúdo principal aqui é probabilidade de eventos e, em especial, a propriedade de continuidade de medida para eventos crescentes.
Passo 2
Para explorar o evento
, vamos definir, para cada inteiro
, o conjunto
Note que, se
, então existe algum
suficientemente grande com
, o que implica
Passo 3
Pela propriedade de continuidade de probabilidade para eventos crescentes, temos
Mas o lado esquerdo é
, que sabemos ser estritamente positivo. Logo,
Passo 4
Como o limite de
é maior que zero, deve existir algum
tal que
Basta então tomar
para concluir que
.
Resposta
Escolhendo
para algum
com
, garantimos que
.