Dado X uma variável aleatória tal que P(X>0)>0. Prove que existe de0 tal que P(X>de0

Passo 1

O enunciado diz que temos uma variável aleatória X e sabemos que P(X>0)>0. A tarefa é provar que existe algum de0 tal que P(X>de0. O conteúdo principal aqui é probabilidade de eventos e, em especial, a propriedade de continuidade de medida para eventos crescentes.

Passo 2

Para explorar o evento X>0, vamos definir, para cada inteiro n>=1, o conjunto
An = omega:;X(omega)>1/n
Note que, se X(omega)>0, então existe algum n suficientemente grande com 1/n, o que implica
cupn=1^infty An = X>0

Passo 3

Pela propriedade de continuidade de probabilidade para eventos crescentes, temos
Pl(cupn=1^infty Anr) = limntoinfty P(An)
Mas o lado esquerdo é P(X>0), que sabemos ser estritamente positivo. Logo,
limntoinfty P(An) = P(X>0)>0

Passo 4

Como o limite de P(An) é maior que zero, deve existir algum N tal que
P(AN)=Pl(X>1/Nr)>0
Basta então tomar de para concluir que P(X>de0.

Resposta

Escolhendo de para algum N com P(X>1/N)>0, garantimos que P(X>de0.

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